Упр.515 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$|x|\left(x^2-5x+6\right)>0$$;
   2) $$\sqrt{x}\left(x^2+6x-40\right)>0$$;
   3) $$\left(x+3\right)^2\left(x^2-x-6\right)>0$$;
   4) $$\frac{3x^2-8x-3}{(x-1)^2}\leqslant 0$$.
2. Расположите в порядке возрастания числа $$\sqrt{32}$$, $$\sqrt{30}$$, $$4\sqrt{3}$$, $$\frac{1}{2}\sqrt{54}$$, $$5\sqrt{2}$$.

1. $$|x|\,(x^2-5x+6)>0$$

   Так как $$|x|\ge 0,$$ то произведение будет положительным, если

   $$x^2-5x+6>0,\quad x\ne 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

   Тогда

   $$(x-2)(x-3)>0,$$

   откуда

   $$x<2 \text{ или } x>3,$$

   и с учётом $$x\ne 0$$ получаем

   $$x\in(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(3;+\infty).$$

2. $$\sqrt{x}\,(x^2+6x-40)>0$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Чтобы произведение было положительным, нужно

   $$x^2+6x-40>0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+6x-40=(x+10)(x-4).$$

   Тогда

   $$(x+10)(x-4)>0.$$

   С учётом $$x\ge 0$$ получаем

   $$x>4.$$

3. $$(x+3)^2(x^2-x-6)>0$$

   Так как $$(x+3)^2\ge 0,$$ то нужно

   $$x^2-x-6>0,\quad x\ne -3.$$

   Разложим:

   $$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

   Тогда

   $$(x-3)(x+2)>0,$$

   откуда

   $$x<-2 \text{ или } x>3.$$

   С учётом $$x\ne -3$$:

   $$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2)\cup(3;+\infty).$$

4. $$\frac{3x^2-8x-3}{(x-1)^2}\le 0$$

   Область определения: $$x\ne 1.$$

   Так как $$(x-1)^2>0$$ при $$x\ne 1,$$ то знак дроби определяется числителем:

   $$3x^2-8x-3\le 0.$$

   Разложим на множители:

   $$3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3).$$

   Тогда

   $$(3x+1)(x-3)\le 0.$$

   Отсюда

   $$x\in\left[-\frac13;3\right],\quad x\ne 1.$$

   Значит,

   $$x\in\left[-\frac13;1\right)\cup(1;3].$$

5. Расположим числа в порядке возрастания:

   $$\sqrt{32},\ \sqrt{30},\ 4\sqrt{3},\ \frac12\sqrt{54},\ 5\sqrt{2}.$$

   Сравним их, представив в виде корней:

   $$\sqrt{32}=\sqrt{32},\quad \sqrt{30}=\sqrt{30},\quad 4\sqrt{3}=\sqrt{48},\quad \frac12\sqrt{54}=\sqrt{13.5},\quad 5\sqrt{2}=\sqrt{50}.$$

   Так как $$13.5<30<32<48<50,$$ то порядок возрастания такой:

   $$\frac12\sqrt{54},\ \sqrt{30},\ \sqrt{32},\ 4\sqrt{3},\ 5\sqrt{2}.$$

Ответ

1) $$(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(3;+\infty)$$

2) $$(4;+\infty)$$

3) $$(-\infty;-3)\cup(-3;-2)\cup(3;+\infty)$$

4) $$\left[-\frac13;1\right)\cup(1;3]$$

5) $$\frac12\sqrt{54},\ \sqrt{30},\ \sqrt{32},\ 4\sqrt{3},\ 5\sqrt{2}$$