Упр.515 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) |х| * (х^2 — 5х + 6) > 0;
2) корень(х)(х^2 + 6х — 40) > 0;
3) (х + 3)^2 (х^2 — х — 6) > 0;
4) (Зх^2 — 8х — 3)/(x — 1)^2 <= 0. Расположите в порядке возрастания числа корень(32), корень(30), 4корень(3), 1/2корень(54), 5корень(2).

Подробный ответ

$$|x|\,(x^2-5x+6)>0$$
Так как $$|x|\ge 0,$$ то произведение будет положительным, если
$$x^2-5x+6>0,\quad x\ne 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
Тогда
$$ (x-2)(x-3)>0, $$
откуда
$$x<2 \text{ или } x>3,$$
и с учётом $$x\ne 0$$ получаем
$$x\in(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(3;+\infty).$$
$$\sqrt{x}\,(x^2+6x-40)>0$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Чтобы произведение было положительным, нужно
$$x^2+6x-40>0.$$
Разложим на множители:
$$x^2+6x-40=(x+10)(x-4).$$
Тогда
$$ (x+10)(x-4)>0. $$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем
$$x>4.$$
$$ (x+3)^2(x^2-x-6)>0 $$
Так как $$ (x+3)^2\ge 0,$$ то нужно
$$x^2-x-6>0,\quad x\ne -3.$$
Разложим:
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$
Тогда
$$ (x-3)(x+2)>0, $$
откуда
$$x<-2 \text{ или } x>3.$$
С учётом $$x\ne -3$$:
$$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2)\cup(3;+\infty).$$
$$\frac{3x^2-8x-3}{(x-1)^2}\le 0$$
Область определения: $$x\ne 1.$$
Так как $$ (x-1)^2>0 $$ при $$x\ne 1,$$ то знак дроби определяется числителем:
$$3x^2-8x-3\le 0.$$
Разложим на множители:
$$3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3).$$
Тогда
$$ (3x+1)(x-3)\le 0. $$
Отсюда
$$x\in\left[-\frac13;3\right],\quad x\ne 1.$$
Значит,
$$x\in\left[-\frac13;1\right)\cup(1;3].$$
Расположим числа в порядке возрастания:
$$\sqrt{32},\ \sqrt{30},\ 4\sqrt{3},\ \frac12\sqrt{54},\ 5\sqrt{2}.$$
Сравним их, представив в виде корней:
$$\sqrt{32}=\sqrt{32},\quad \sqrt{30}=\sqrt{30},\quad 4\sqrt{3}=\sqrt{48},\quad \frac12\sqrt{54}=\sqrt{13.5},\quad 5\sqrt{2}=\sqrt{50}.$$
Так как $$13.5<30<32<48<50,$$ то порядок возрастания такой:
$$\frac12\sqrt{54},\ \sqrt{30},\ \sqrt{32},\ 4\sqrt{3},\ 5\sqrt{2}.$$