Упр.514 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) |х| * (х^2 + Зх — 10) < 0; 2) корень(x)(x^2 + 2х - 8) <= 0; 3) (х - 2)^2 (х^2 - 8х - 9) < 0; 4) (х + 5)^2 (х^2 - 2х - 15) > 0;
5) (х^2 + 7х — 8)/(х — 4)^2 >= 0;
6) (х^2 + 10х — 11)/(х + З)^2 <= 0. Решите неравенство: 1) (Зх - 2)^2 - (Зх - 1)(2х + 3) < Зх(х - 7); 2) -Зх^2 - 10х + 48 <= 0.

1. $$|x|\,(x^2+3x-10)<0$$

   Так как $$|x|\ge 0,$$ то произведение будет отрицательным только при $$|x|>0$$ и $$x^2+3x-10<0.$$

   Решим квадратное неравенство:

   $$x^2+3x-10=(x+5)(x-2)<0.$$

   Отсюда $$-5<x<2,$$ причём $$x\ne 0.$$

   Значит, $$x\in(-5;0)\cup(0;2).$$

2. $$\sqrt{x}\,(x^2+2x-8)\le 0$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   При $$x\ge 0$$ имеем $$\sqrt{x}\ge 0,$$ поэтому нужно, чтобы

   $$x^2+2x-8\le 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\le 0.$$

   Отсюда $$-4\le x\le 2.$$ С учётом $$x\ge 0$$ получаем

   $$x\in[0;2].$$

3. $$ (x-2)^2(x^2-8x-9)<0 $$

   Так как $$ (x-2)^2\ge 0,$$ то произведение отрицательно, когда

   $$x^2-8x-9<0,$$ и одновременно $$x\ne 2.$$

   Решим неравенство:

   $$x^2-8x-9=(x-9)(x+1)<0.$$

   Тогда $$-1<x<9,$$ но $$x\ne 2.$$

   Следовательно, $$x\in(-1;2)\cup(2;9).$$

4. $$ (x+5)^2(x^2-2x-15)>0 $$

   Так как $$ (x+5)^2\ge 0,$$ то нужно, чтобы

   $$x^2-2x-15>0,$$ и $$x\ne -5.$$

   Разложим:

   $$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)>0.$$

   Отсюда $$x<-3$$ или $$x>5,$$ причём $$x\ne -5.$$

   Значит, $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;-3)\cup(5;+\infty).$$

5. $$\dfrac{x^2+7x-8}{(x-4)^2}\ge 0$$

   Область определения: $$x\ne 4.$$

   Так как $$ (x-4)^2>0 $$ при $$x\ne 4,$$ то достаточно решить

   $$x^2+7x-8\ge 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+7x-8=(x+8)(x-1)\ge 0.$$

   Тогда $$x\le -8$$ или $$x\ge 1,$$ но $$x\ne 4.$$

   Следовательно, $$x\in(-\infty;-8]\cup[1;4)\cup(4;+\infty).$$

6. $$\dfrac{x^2+10x-11}{(x+3)^2}\le 0$$

   Область определения: $$x\ne -3.$$

   Так как $$ (x+3)^2>0 $$ при $$x\ne -3,$$ то нужно решить

   $$x^2+10x-11\le 0.$$

   Разложим:

   $$x^2+10x-11=(x+11)(x-1)\le 0.$$

   Отсюда $$-11\le x\le 1,$$ но $$x\ne -3.$$

   Значит, $$x\in[-11;-3)\cup(-3;1].$$

7. $$ (3x-2)^2-(3x-1)(2x+3)<3x(x-7) $$

   Раскроем скобки:

   $$9x^2-12x+4-(6x^2+7x-3)<3x^2-21x.$$

   $$9x^2-12x+4-6x^2-7x+3-3x^2+21x<0.$$

   $$2x+7<0.$$

   $$x<-\dfrac{7}{2}.$$

8. $$-3x^2-10x+48\le 0$$

   Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:

   $$3x^2+10x-48\ge 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=10^2-4\cdot 3\cdot(-48)=676,$$

   $$x_{1,2}=\dfrac{-10\pm 26}{6}.$$

   Получаем:

   $$x_1=-6,\qquad x_2=\dfrac{8}{3}.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$x\in(-\infty;-6]\cup\left[\dfrac{8}{3};+\infty\right).$$

Ответ

1) $$(-5;0)\cup(0;2)$$

2) $$[0;2]$$

3) $$(-1;2)\cup(2;9)$$

4) $$(-\infty;-5)\cup(-5;-3)\cup(5;+\infty)$$

5) $$(-\infty;-8]\cup[1;4)\cup(4;+\infty)$$

6) $$[-11;-3)\cup(-3;1]$$

7) $$x<-\dfrac{7}{2}$$

8) $$(-\infty;-6]\cup\left[\dfrac{8}{3};+\infty\right)$$