Упр.513 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 5х^2 — 7|х| + 2 >= 0;
2) х^2 + 10|х| — 24 <= 0. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значения переменной (переменных): 1) (1/a + 1/(a - 8))/(a - 4 - 16/(a - 4)); 2) a/(b - a) - ac/(b - c) * ((b + c)/(bc - ac) - (a + b)/(ab - a^2) + b/ac).

1. $$5x^2-7|x|+2\ge 0$$

   Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда получаем неравенство

   $$5t^2-7t+2\ge 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=49-40=9,$$

   $$t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{10},\quad t_1=\frac25,\quad t_2=1.$$

   Так как коэффициент при $$t^2$$ положителен, то

   $$t\le \frac25 \quad \text{или} \quad t\ge 1.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем:

   $$|x|\le \frac25 \quad \text{или} \quad |x|\ge 1.$$

   Значит,

   $$x\in (-\infty;-1]\cup \left[-\frac25;\frac25\right]\cup [1;+\infty).$$

2. $$x^2+10|x|-24\le 0$$

   Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда

   $$t^2+10t-24\le 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=100+96=196,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-10\pm 14}{2},\quad t_1=-12,\quad t_2=2.$$

   Так как парабола направлена вверх, то

   $$-12\le t\le 2.$$

   С учётом условия $$t\ge 0$$ получаем

   $$0\le t\le 2,$$

   то есть

   $$|x|\le 2.$$

   Следовательно,

   $$x\in [-2;2].$$

3. $$\left(\frac1a+\frac1{a-8}\right)\left(a-4-\frac{16}{a-4}\right)$$

   ОДЗ: $$a\ne 0,\; a\ne 4,\; a\ne 8.$$

   Преобразуем выражение:

   $$ \left(\frac1a+\frac1{a-8}\right)\left(a-4-\frac{16}{a-4}\right) = \frac{a-8+a}{a(a-8)}\cdot \frac{(a-4)^2-16}{a-4} $$

   $$ = \frac{2a-8}{a(a-8)}\cdot \frac{a^2-8a}{a-4} = \frac{2(a-4)}{a(a-8)}\cdot \frac{a(a-8)}{a-4} =2. $$

   Значение выражения не зависит от $$a$$.

4. $$\frac{a}{b-a}-\frac{ac}{b-c}\left(\frac{b+c}{bc-ac}-\frac{a+b}{ab-a^2}+\frac{b}{ac}\right)$$

   ОДЗ: $$b\ne a,\; b\ne c,\; a\ne 0,\; c\ne 0.$$

   Упростим скобки:

   $$ bc-ac=c(b-a),\qquad ab-a^2=a(b-a). $$

   Тогда

   $$ \frac{b+c}{bc-ac}-\frac{a+b}{ab-a^2}+\frac{b}{ac} = \frac{b+c}{c(b-a)}-\frac{a+b}{a(b-a)}+\frac{b}{ac}. $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{a(b+c)-c(a+b)+b(b-a)}{ac(b-a)} = \frac{b^2-bc}{ac(b-a)} = \frac{b(b-c)}{ac(b-a)}. $$

   Тогда всё выражение равно

   $$ \frac{a}{b-a}-\frac{ac}{b-c}\cdot \frac{b(b-c)}{ac(b-a)} = \frac{a}{b-a}-\frac{b}{b-a} = \frac{a-b}{b-a} =-1. $$

   Значение выражения не зависит от переменных.

Ответ

1) $$x\in (-\infty;-1]\cup \left[-\frac25;\frac25\right]\cup [1;+\infty)$$

2) $$x\in [-2;2]$$

3) $$2$$

4) $$-1$$