Упр.511 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Найдите область определения функции: $$y=\sqrt{20+4x-3x^2}+\frac{3}{\sqrt{8-4x}}$$
- Солдат, прибывших на парад, планировали выстроить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24 солдата. По прибытии оказалось, что не все они смогут участвовать в параде, поэтому их выстроили так, что рядов стало на 2 меньше, чем планировалось, а количество человек в ряду — на 26 больше, чем новое количество рядов. Сколько солдат прибыло на парад, если известно, что если бы все они участвовали в параде, то их можно было бы построить так, чтобы количество рядов было равным количеству человек в ряду?
$$y=\sqrt{20+4x-3x^2}+\frac{3}{\sqrt{8-4x}}$$
Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение в первом слагаемом было неотрицательным, а знаменатель во втором — положительным:
$$\begin{cases} 20+4x-3x^2 \ge 0,\\ 8-4x > 0. \end{cases}$$
Решим первое неравенство:
$$20+4x-3x^2 \ge 0$$
$$3x^2-4x-20 \le 0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-20)=16+240=256$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 16}{6}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac{10}{3}$$
Тогда
$$x\in\left[-2;\frac{10}{3}\right]$$
Из второго неравенства:
$$8-4x>0 \quad \Rightarrow \quad x<2$$
Пересекаем полученные промежутки:
$$x\in\left[-2;\frac{10}{3}\right]\cap(-\infty;2)=\left[-2;2\right)$$
$$y=\frac{x+5}{\sqrt{35+2x-x^2}}+\frac{x+1}{|x|-6}$$
Для области определения нужно:
$$\begin{cases} 35+2x-x^2 > 0,\\ |x|-6 \ne 0. \end{cases}$$
Решим первое неравенство:
$$35+2x-x^2>0$$
$$x^2-2x-35<0$$
$$(x-7)(x+5)<0$$
Отсюда
$$x\in(-5;7)$$
Из условия $$|x|-6\ne 0$$ получаем:
$$|x|\ne 6 \quad \Rightarrow \quad x\ne -6,\; x\ne 6$$
С учётом промежутка $$(-5;7)$$ точка $$-6$$ не входит в него, поэтому остаётся исключить только $$6$$:
$$x\in(-5;7),\quad x\ne 6$$
Значит,
$$D(y)=(-5;6)\cup(6;7)$$
Пусть было $$x$$ рядов. Тогда в каждом ряду планировали поставить по $$24$$ солдата, значит всего должно было быть $$24x$$ солдат.
По условию после изменения число рядов стало на 2 меньше, то есть $$x-2$$, а число солдат в ряду стало на 26 больше нового числа рядов, то есть $$x-2+26=x+24$$.
Тогда фактическое число солдат равно $$(x-2)(x+24)$$, и оно меньше планируемого:
$$(x-2)(x+24)<24x$$
$$x^2+22x-48<24x$$
$$x^2-2x-48<0$$
$$(x-8)(x+6)<0$$
Отсюда $$-6<x<8$$. Так как число рядов — натуральное, проверяем целые значения. По условию, если бы все солдаты участвовали в параде, число рядов было бы равно числу солдат в ряду, значит общее число солдат имело бы вид $$x^2$$.
Ищем натуральное $$x$$, при котором
$$24x=x^2$$
$$x(x-24)=0$$
$$x=24$$
Тогда число солдат:
$$24\cdot 24=576$$
Ответ
1) $$x\in\left[-2;2\right)$$; 2) $$x\in(-5;6)\cup(6;7)$$; 3) $$576$$ солдат.
