Упр.509 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) система
2х^2 — 5х + 18 >= 0,
х^2 + 4х — 5 <= 0; 2) система х^2 - (корень(5) - 3)х - Зкорень(5) <= 0, х^2 + х > 0. Токарю было поручено изготовить 90 деталей, а ученику — 35. Первые 30 деталей токарь делал с производительностью в два раза большей, чем ученик.
Изготовляя остальные 60 деталей, он делал ещё на 2 детали в час больше и закончил свою работу не менее чем на 1 ч позже ученика.
Однако если бы токарь первые 30 деталей изготавливал с такой же производительностью, что и остальные 60, то он закончил бы работу не ранее чем через 30 мин после ученика.
Сколько деталей в час делал ученик?

1. Решим первую систему:

   $$\begin{cases} 2x^2-5x+18\ge 0,\\ x^2+4x-5\le 0. \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$2x^2-5x+18\ge 0.$$
   Дискриминант:
   $$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 18=25-144=-119<0.$$ Так как старший коэффициент положительный, то $$2x^2-5x+18>0$$ при всех $$x$$.

   Второе неравенство:

   $$x^2+4x-5\le 0,$$
   $$x^2+4x-5=(x+5)(x-1).$$
   Тогда
   $$x\in[-5;1].$$

   Значит, целые решения первой системы:

   $$x\in\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1\}.$$

2. Решим вторую систему:

   $$\begin{cases} x^2-(\sqrt5-3)x-3\sqrt5\le 0,\\ x^2+x>0. \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$x^2-(\sqrt5-3)x-3\sqrt5\le 0.$$
   Найдём корни:
   $$D=(\sqrt5-3)^2-4\cdot 1\cdot(-3\sqrt5)=5-6\sqrt5+9+12\sqrt5=14+6\sqrt5=(\sqrt5+3)^2.$$
   Тогда
   $$x_{1,2}=\frac{\sqrt5-3\pm(\sqrt5+3)}{2},$$
   откуда
   $$x_1=-3,\quad x_2=\sqrt5.$$
   Следовательно,
   $$x\in[-3;\sqrt5].$$

   Второе неравенство:

   $$x^2+x>0,$$
   $$x(x+1)>0,$$
   значит
   $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty).$$

   Пересечение:

   $$x\in[-3;-1)\cup(0;\sqrt5].$$
   Целые решения:
   $$x\in\{-3,-2,1,2\}.$$

3. Решим задачу про токаря и ученика.

   Пусть ученик делает $$x$$ деталей в час, тогда токарь в первые 30 деталей делал $$2x$$ деталей в час, а остальные 60 деталей — $$2x+2$$ деталей в час.

   По условию токарь закончил работу не менее чем на 1 час позже ученика:

   $$\frac{30}{2x}+\frac{60}{2x+2}\ge \frac{35}{x}+1.$$
   Преобразуем:
   $$\frac{15}{x}+\frac{30}{x+1}\ge \frac{35}{x}+1,$$
   $$15(x+1)+30x\ge 35(x+1)+x(x+1),$$
   $$x^2-9x+20\le 0,$$
   $$(x-4)(x-5)\le 0,$$
   $$4\le x\le 5.$$

   Если бы токарь все 90 деталей делал с производительностью $$2x+2$$, то он закончил бы работу не ранее чем через 30 минут после ученика:

   $$\frac{90}{2x+2}-\frac{35}{x}\ge \frac12.$$
   Тогда
   $$\frac{45}{x+1}-\frac{35}{x}\ge \frac12,$$
   $$90x-70(x+1)\ge x(x+1),$$
   $$x^2-19x+70\le 0,$$
   $$(x-5)(x-14)\le 0,$$
   $$5\le x\le 14.$$

   Совмещаем условия:

   $$x\in[4;5]\cap[5;14]=\{5\}.$$

Ответ

1) $$x\in\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1\}$$; 2) $$x\in\{-3,-2,1,2\}$$; 3) $$5$$ деталей в час.