Упр.508 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) система
бх^2 + 13x — 5 <= 0, 6 - 2х > 0;
2) система
х^2 — 7х — 18 < 0, 5х - х^2 <= 0. Два рабочих изготовили по 60 одинаковых деталей, причём 30 деталей каждый из них сделал, работая с некоторой производительностью, которая у второго рабочего была на 20 % выше, чем у первого. Потом первый рабочий стал изготавливать больше на 2 детали в час, а второй — на 3 детали в час. Первый рабочий потратил на выполнение всего задания не менее 5 ч 30 мин, а второй — не более 4 ч 30 мин. Сколько деталей в час изготавливал второй рабочий во время выполнения первой половины задания?

1) Решим систему

$$ \begin{cases} -6x^2+13x-5\le 0,\\ 6-2x>0. \end{cases} $$

Первое неравенство:

$$ -6x^2+13x-5\le 0 $$
$$ 6x^2-13x+5\ge 0 $$
$$ D=13^2-4\cdot 6\cdot 5=169-120=49 $$
$$ x_1=\frac{13-7}{12}=\frac12,\qquad x_2=\frac{13+7}{12}=\frac53 $$
$$ 6x^2-13x+5=(2x-1)(3x-5) $$
$$ (2x-1)(3x-5)\ge 0 $$
$$ x\le \frac12 \quad \text{или} \quad x\ge \frac53 $$

Второе неравенство:

$$ 6-2x>0,\qquad x<3 $$

Пересечение решений:

$$ x\in\left(-\infty;\frac12\right]\cup\left[\frac53;3\right) $$

2) Решим систему

$$ \begin{cases} x^2-7x-18<0,\\ 5x-x^2\le 0. \end{cases} $$

Первое неравенство:

$$ x^2-7x-18=(x-9)(x+2) $$
$$ (x-9)(x+2)<0 $$
$$ -2<x<9 $$

Второе неравенство:

$$ 5x-x^2\le 0 $$
$$ x(5-x)\le 0 $$
$$ x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 5 $$

Пересечение решений:

$$ x\in(-2;0]\cup[5;9) $$

3) Пусть первый рабочий изготавливал по $x$ деталей в час, тогда второй — по $1{,}2x$ деталей в час.

По условию первый рабочий на первую половину задания затратил не менее $5{,}5$ ч:

$$ \frac{30}{x}+\frac{30}{x+2}\ge 5{,}5 $$
$$ 60(x+2)+60x\ge 11x(x+2) $$
$$ 11x^2-98x-120\le 0 $$
$$ (11x+12)(x-10)\le 0 $$
$$ 0<x\le 10 $$

Второй рабочий на всё задание затратил не более $4{,}5$ ч:

$$ \frac{30}{1{,}2x}+\frac{30}{1{,}2x+3}\le 4{,}5 $$
$$ \frac{25}{x}+\frac{30}{1{,}2x+3}\le 4{,}5 $$

Удобнее сразу использовать связь $y=1{,}2x$ и записать:

$$ \frac{30}{y}+\frac{30}{y+3}\le 4{,}5 $$
$$ 9y^2-93y-180\ge 0 $$
$$ (9y+15)(y-12)\ge 0 $$
$$ y\ge 12 $$

Так как $y=1{,}2x$, а $x\le 10$, получаем:

$$ 1{,}2x\ge 12 $$
$$ x\ge 10 $$

Следовательно, $x=10$, тогда

$$ y=1{,}2\cdot 10=12 $$

Ответ

$$ 1)\ \left(-\infty;\frac12\right]\cup\left[\frac53;3\right),\qquad 2)\ (-2;0]\cup[5;9),\qquad 3)\ 12\ \text{деталей}. $$