Упр.508 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) Решим систему

$$\begin{cases} -6x^2+13x-5\le 0,\\ 6-2x>0. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$-6x^2+13x-5\le 0$$
$$6x^2-13x+5\ge 0$$
$$D=13^2-4\cdot 6\cdot 5=169-120=49$$
$$x_1=\frac{13-7}{12}=\frac12,\qquad x_2=\frac{13+7}{12}=\frac53$$
$$6x^2-13x+5=(2x-1)(3x-5)$$
$$(2x-1)(3x-5)\ge 0$$
$$x\le \frac12 \quad \text{или} \quad x\ge \frac53$$

Второе неравенство:

$$6-2x>0,\qquad x<3$$

Пересечение решений:

$$x\in\left(-\infty;\frac12\right]\cup\left[\frac53;3\right)$$

2) Решим систему

$$\begin{cases} x^2-7x-18<0,\\ 5x-x^2\le 0. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$x^2-7x-18=(x-9)(x+2)$$
$$(x-9)(x+2)<0$$
$$-2<x<9$$

Второе неравенство:

$$5x-x^2\le 0$$
$$x(5-x)\le 0$$
$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 5$$

Пересечение решений:

$$x\in(-2;0]\cup[5;9)$$

3) Пусть первый рабочий изготавливал по $$x$$ деталей в час, тогда второй — по $$1{,}2x$$ деталей в час.

По условию первый рабочий на первую половину задания затратил не менее $$5{,}5$$ ч:

$$\frac{30}{x}+\frac{30}{x+2}\ge 5{,}5$$
$$60(x+2)+60x\ge 11x(x+2)$$
$$11x^2-98x-120\le 0$$
$$(11x+12)(x-10)\le 0$$
$$0<x\le 10$$

Второй рабочий на всё задание затратил не более $$4{,}5$$ ч:

$$\frac{30}{1{,}2x}+\frac{30}{1{,}2x+3}\le 4{,}5$$
$$\frac{25}{x}+\frac{30}{1{,}2x+3}\le 4{,}5$$

Удобнее сразу использовать связь $$y=1{,}2x$$ и записать:

$$\frac{30}{y}+\frac{30}{y+3}\le 4{,}5$$
$$9y^2-93y-180\ge 0$$
$$(9y+15)(y-12)\ge 0$$
$$y\ge 12$$

Так как $$y=1{,}2x$$, а $$x\le 10$$, получаем:

$$1{,}2x\ge 12$$
$$x\ge 10$$

Следовательно, $$x=10$$, тогда

$$y=1{,}2\cdot 10=12$$

Ответ

$$1)\ \left(-\infty;\frac12\right]\cup\left[\frac53;3\right),\qquad 2)\ (-2;0]\cup[5;9),\qquad 3)\ 12\ \text{деталей}.$$