Упр.506 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) x^2 — 8bx + 15b + 1 = 0;
2) 2x^2 + 2(b — 6)х + b — 2 = 0? В два одинаковых бассейна одновременно начали наливать воду. В первый бассейн поступает за час на 30 м^3 больше воды, чем во второй.
В некоторый момент в обоих бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объём каждого из них.
После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а ещё через 3 ч 20 мин — второй. Сжолько воды поступало за 1 ч в каждый бассейн?
1) Для квадратного уравнения два различных действительных корня существуют тогда и только тогда, когда $$D>0$$.
Рассмотрим уравнение
$$x^2-8bx+15b+1=0.$$
Его дискриминант:
$$D=(-8b)^2-4\cdot 1\cdot(15b+1)=64b^2-60b-4.$$
Требуем:
$$64b^2-60b-4>0,$$
$$16b^2-15b-1>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_1=15^2-4\cdot 16\cdot(-1)=225+64=289,$$
$$b_{1,2}=\frac{15\pm 17}{32}.$$
Отсюда
$$b_1=1,\qquad b_2=-\frac{1}{16}.$$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$16b^2-15b-1>0 \iff b\in\left(-\infty;-\frac{1}{16}\right)\cup(1;+\infty).$$
2) Рассмотрим уравнение
$$2x^2+2(b-6)x+b-2=0.$$
Его дискриминант:
$$D=[2(b-6)]^2-4\cdot 2\cdot(b-2)=4(b-6)^2-8(b-2).$$
Упростим:
$$D=4(b^2-12b+36)-8b+16=4b^2-56b+160=4(b^2-14b+40).$$
Требуем:
$$b^2-14b+40>0.$$
Найдём корни:
$$D_2=14^2-4\cdot 40=196-160=36,$$
$$b_{1,2}=\frac{14\pm 6}{2}.$$
Получаем
$$b_1=4,\qquad b_2=10.$$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$b^2-14b+40>0 \iff b\in(-\infty;4)\cup(10;+\infty).$$
3) Пусть скорость заполнения первого бассейна равна $$x$$ м3/ч, тогда второго — $$x-30$$ м3/ч.
Пусть через $$t$$ часов после начала наливания в обоих бассейнах вместе было воды на один бассейн, то есть по объёму каждого бассейна.
Тогда до наполнения первого осталось $$2\text{ ч }40\text{ мин}=\frac{8}{3}$$ ч, а до наполнения второго — $$2\text{ ч }40\text{ мин}+3\text{ ч }20\text{ мин}=6$$ ч.
Объём каждого бассейна равен:
$$V=t\bigl(x+(x-30)\bigr)=t(2x-30).$$
С другой стороны, для первого бассейна:
$$V=\left(t+\frac{8}{3}\right)x,$$
для второго:
$$V=(t+6)(x-30).$$
Приравняем:
$$\left(t+\frac{8}{3}\right)x=t(2x-30),$$
$$ (t+6)(x-30)=t(2x-30).$$
Из первого уравнения:
$$tx+\frac{8}{3}x=2tx-30t,$$
$$t=\frac{6x-180}{x}.$$
Подставим во второе:
$$\left(\frac{6x-180}{x}+6\right)(x-30)=\frac{6x-180}{x}(2x-30).$$
После упрощения получаем:
$$x^2-108x+1620=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=108^2-4\cdot 1620=11664-6480=5184,$$
$$x_{1,2}=\frac{108\pm 72}{2}.$$
Отсюда
$$x_1=90,\qquad x_2=18.$$
Так как $$x-30>0$$, подходит только $$x=90$$, тогда
$$x-30=60.$$
Ответ
1) $$b\in\left(-\infty;-\frac{1}{16}\right)\cup(1;+\infty)$$; 2) $$b\in(-\infty;4)\cup(10;+\infty)$$; 3) первый бассейн — $$90\ \text{м}^3/\text{ч}$$, второй — $$60\ \text{м}^3/\text{ч}$$.
