Упр.504 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Равносильны ли неравенства:
1) $$x^2-2x-15>0$$ и $$x^2-2x-15\geqslant 0$$;
2) $$\frac{1}{x^2-x-20}<0$$ и $$\frac{1}{x^2-x-20}\leqslant 0$$;
3) $$x^2-6x+10>0$$ и $$-x^2+x-1\leqslant 0$$;
4) $$x^2+2x+3<0$$ и $$-2x^2-4>0$$? - К баку ёмкостью $$500\ \text{м}^3$$ подведены три трубы. В течение некоторого времени в бак, который сначала был пустым, подавали воду только через первую трубу. Потом первую трубу закрыли и открыли две другие трубы, через которые подавали воду в бак до полного его заполнения. Известно, что вторая и третья трубы были открыты в два раза дольше, чем первая труба. Если бы вторая и третья трубы были открыты 12 ч 30 мин, то через них было подано столько же воды, сколько было подано через первую трубу. Сколько времени была открыта первая труба, если известно, что через неё в бассейн ежеминутно поступало $$300\ \text{л}$$ воды?
$$x^2-2x-15>0 \quad \text{и} \quad x^2-2x-15\ge 0$$
Первое неравенство строгое, второе нестрогое, поэтому их решения различаются: во втором случае к промежуткам добавляются корни уравнения $$x^2-2x-15=0$$. Значит, неравенства неравносильны.
$$\frac{1}{x^2-x-20}<0 \quad \text{и} \quad \frac{1}{x^2-x-20}\le 0$$
Так как числитель равен $$1>0$$, то знак дроби определяется знаменателем. Для первого неравенства нужно $$x^2-x-20<0$$, для второго — $$x^2-x-20<0$$, так как значение $$0$$ дробь принимать не может. Следовательно, неравенства равносильны.
$$x^2-6x+10>0 \quad \text{и} \quad -x^2+x-1\le 0$$
Для первого неравенства:
$$D= (-6)^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит, $$x^2-6x+10>0$$ при всех $$x$$.
Для второго неравенства:
$$-x^2+x-1\le 0 \iff x^2-x+1\ge 0,$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит, $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x$$, следовательно, $$-x^2+x-1<0$$ при всех $$x$$.
Оба неравенства имеют одинаковое множество решений: $$x\in(-\infty;+\infty)$$. Значит, они равносильны.
$$x^2+2x+3<0 \quad \text{и} \quad -2x^2-4>0$$
Для первого неравенства:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит, $$x^2+2x+3>0$$ при всех $$x$$, поэтому решений нет.
Для второго неравенства:
$$-2x^2-4>0 \iff 2x^2+4<0,$$
но $$2x^2+4>0$$ при всех $$x$$, значит, решений тоже нет.
Оба неравенства не имеют решений, следовательно, они равносильны.
Ответ
1) нет; 2) да; 3) да; 4) да.
