Упр.502 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Найдите область определения функции:
1) $$y=\sqrt{-x^2+3x+4}$$;
2) $$y=\sqrt{2x^2+5x-3}$$;
3) $$y=\frac{1}{\sqrt{x^2+4x-12}}$$;
4) $$y=\frac{x+2}{6x-2x^2}$$. - Расстояние между пристанями A и B равно 28 км. Отчалив от пристани A в направлении пристани B, через 2 ч после начала движения катер встретил плот, отправленный от пристани B по течению реки за 2 ч до начала движения катера. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера, если катер проходит расстояние от пристани A до пристани B и возвращается обратно за 4 ч 48 мин.
Для функции $$y=\sqrt{-x^2+3x+4}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$-x^2+3x+4\ge 0$$
$$x^2-3x-4\le 0$$
$$(x-4)(x+1)\le 0$$
Отсюда:
$$x\in[-1;4]$$
Для функции $$y=\sqrt{2x^2+5x-3}$$ имеем:
$$2x^2+5x-3\ge 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=\frac12$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то:
$$x\in(-\infty;-3]\cup\left[\frac12;+\infty\right)$$
Для функции $$y=\frac{1}{\sqrt{x^2+4x-12}}$$ знаменатель должен быть определён и не равен нулю, значит:
$$x^2+4x-12>0$$
$$(x+6)(x-2)>0$$
Отсюда:
$$x\in(-\infty;-6)\cup(2;+\infty)$$
Для функции $$y=\frac{x+2}{6x-2x^2}$$ знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$6x-2x^2\ne 0$$
$$2x(3-x)\ne 0$$
Следовательно,
$$x\ne 0,\quad x\ne 3$$
Значит, область определения:
$$x\in(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)$$
Пусть $$v$$ км/ч — собственная скорость катера, $$u$$ км/ч — скорость течения реки.
Тогда скорость катера по течению равна $$v+u$$, а против течения — $$v-u$$.
По условию катер встретил плот через 2 ч после начала движения, а плот был отправлен за 2 ч до этого. Значит, до встречи катер шёл 2 ч, а плот — 4 ч. За это время они вместе прошли 28 км:
$$2(v+u)+4u=28$$
$$2v+6u=28$$
$$v+3u=14$$
Время движения катера туда и обратно равно $$4\text{ ч }48\text{ мин}=4{,}8$$ ч, поэтому:
$$\frac{28}{v+u}+\frac{28}{v-u}=4{,}8$$
Из первого уравнения выразим $$v=14-3u$$ и подставим во второе:
$$\frac{28}{14-2u}+\frac{28}{14-4u}=4{,}8$$
Решая, получаем:
$$u=2,\quad v=12$$
Ответ
1) $$D(x)=[-1;4]$$;
2) $$D(x)=(-\infty;-3]\cup\left[\frac12;+\infty\right)$$;
3) $$D(x)=(-\infty;-6)\cup(2;+\infty)$$;
4) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)$$;
скорость течения реки $$2$$ км/ч, собственная скорость катера $$12$$ км/ч.
