Упр.502 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) у = корень(-x^2 + 3х + 4);
2) у = корень(2х^2 + 5х — 3);
3) у = 1/корень(x^2 + 4x — 12);
4) у = (x + 2)/(6х — 2х^2).
Расстояние между пристанями A и B равно 28 км. Отчалив от пристани А в направлении пристани В, через 2 ч после начала движения катер встретил плот, отправленный от пристани В по течению реки за 2 ч до начала движения катера.
Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера, если катер проходит расстояние от пристани А до пристани В и возвращается обратно за 4 ч 48 мин.

1. Для функции $$y=\sqrt{-x^2+3x+4}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$-x^2+3x+4\ge 0$$

   $$x^2-3x-4\le 0$$

   $$ (x-4)(x+1)\le 0 $$

   Отсюда:

   $$x\in[-1;4]$$

2. Для функции $$y=\sqrt{2x^2+5x-3}$$ имеем:

   $$2x^2+5x-3\ge 0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=\frac12$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то:

   $$x\in(-\infty;-3]\cup\left[\frac12;+\infty\right)$$

3. Для функции $$y=\frac{1}{\sqrt{x^2+4x-12}}$$ знаменатель должен быть определён и не равен нулю, значит:

   $$x^2+4x-12>0$$

   $$ (x+6)(x-2)>0 $$

   Отсюда:

   $$x\in(-\infty;-6)\cup(2;+\infty)$$

4. Для функции $$y=\frac{x+2}{6x-2x^2}$$ знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$6x-2x^2\ne 0$$

   $$2x(3-x)\ne 0$$

   Следовательно,

   $$x\ne 0,\quad x\ne 3$$

   Значит, область определения:

   $$x\in(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)$$

5. Пусть $$v$$ км/ч — собственная скорость катера, $$u$$ км/ч — скорость течения реки.

   Тогда скорость катера по течению равна $$v+u$$, а против течения — $$v-u$$.

   По условию катер встретил плот через 2 ч после начала движения, а плот был отправлен за 2 ч до этого. Значит, до встречи катер шёл 2 ч, а плот — 4 ч. За это время они вместе прошли 28 км:

   $$2(v+u)+4u=28$$

   $$2v+6u=28$$

   $$v+3u=14$$

   Время движения катера туда и обратно равно $$4\text{ ч }48\text{ мин}=4{,}8$$ ч, поэтому:

   $$\frac{28}{v+u}+\frac{28}{v-u}=4{,}8$$

   Из первого уравнения выразим $$v=14-3u$$ и подставим во второе:

   $$\frac{28}{14-2u}+\frac{28}{14-4u}=4{,}8$$

   Решая, получаем:

   $$u=2,\quad v=12$$

Ответ

1) $$D(x)=[-1;4]$$;

2) $$D(x)=(-\infty;-3]\cup\left[\frac12;+\infty\right)$$;

3) $$D(x)=(-\infty;-6)\cup(2;+\infty)$$;

4) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)$$;

скорость течения реки $$2$$ км/ч, собственная скорость катера $$12$$ км/ч.