Упр.499 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 42 — х^2 — x > 0;
2) 2x^2 — Зх — 20 < 0. Лодка прошла 34 км по течению реки и 39 км против течения, потратив на это столько времени, сколько ей требуется, чтобы проплыть в стоячей воде 75 км. Найдите отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения.

Подробный ответ

$$42-x^2-x>0$$
$$x^2+x-42<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-42)=169$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 13}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=6$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$-7<x<6$$
Наименьшее целое решение: $$-6$$.
$$2x^2-3x-20<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-20)=169$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 13}{4}$$
$$x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=4$$
Тогда
$$-\frac{5}{2}<x<4$$
Наименьшее целое решение: $$-2$$.
Пусть $$x$$ — скорость лодки в стоячей воде, $$y$$ — скорость течения.
Тогда по условию:
$$\frac{34}{x+y}+\frac{39}{x-y}=\frac{75}{x}$$
Умножим на $$x(x+y)(x-y)$$:
$$34x(x-y)+39x(x+y)=75(x^2-y^2)$$
$$34x^2-34xy+39x^2+39xy=75x^2-75y^2$$
$$2x^2-5xy-75y^2=0$$
Разделим на $$y^2$$ и введём отношение $$t=\frac{x}{y}$$:
$$2t^2-5t-75=0$$
$$D=25+600=625$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 25}{4}$$
$$t_1=\frac{15}{2},\quad t_2=-5$$
Так как отношение скоростей положительно, получаем
$$\frac{x}{y}=\frac{15}{2}$$