Упр.496 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?
Сравним значения функций:
$$\frac{3}{2}x^2-7x+1<-\frac{1}{2}x^2-4.$$
Перенесём всё в левую часть:
$$\frac{3}{2}x^2-7x+1+\frac{1}{2}x^2+4<0,$$
$$2x^2-7x+5<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 5=49-40=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{4}.$$
Тогда
$$x_1=1,\qquad x_2=2{,}5.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то неравенство выполняется между корнями:
$$1<x<2{,}5.$$
Пусть $$x$$ кг — масса первого сплава, $$y$$ кг — масса второго сплава.
В первом сплаве меди $$\frac{5}{7}x$$, цинка $$\frac{2}{7}x$$.
Во втором сплаве меди $$\frac{3}{7}y$$, цинка $$\frac{4}{7}y$$.
В новом сплаве массой 28 кг меди и цинка поровну, значит каждого металла по 14 кг. Составим систему:
$$ \begin{cases} \frac{2}{7}x+\frac{4}{7}y=14,\\ \frac{5}{7}x+\frac{3}{7}y=14. \end{cases} $$
Умножим уравнения на 7:
$$ \begin{cases} 2x+4y=98,\\ 5x+3y=98. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$x+2y=49,$$
$$x=49-2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5(49-2y)+3y=98,$$
$$245-10y+3y=98,$$
$$-7y=-147,$$
$$y=21.$$
Тогда
$$x=49-2\cdot 21=7.$$
Ответ
$$1<x<2{,}5;$$ первый сплав — $$7$$ кг, второй — $$21$$ кг.
