Упр.494 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) значения трёхчлена х^2 — 2х — 11 меньше 1/4;
2) значения трёхчлена -Зх^2 + 8х + 6 не меньше -2/3? Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен за 12 ч.
Если сначала наполнять бассейн только через первую трубу в течение 5 ч, а затем только через вторую в течение 9 ч, то водой будет наполнена половина бассейна.
За сколько часов может быть наполнен бассейн отдельно через каждую трубу?

Подробный ответ

$$x^2-2x-11<\frac14$$
Умножим на $$4$$:
$$4x^2-8x-44<1$$
$$4x^2-8x-45<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-8)^2-4\cdot 4\cdot(-45)=64+720=784$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{784}}{2\cdot 4}=\frac{8\pm 28}{8}$$
$$x_1=-2{,}5,\quad x_2=4{,}5$$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$4x^2-8x-45<0 \quad \text{при} \quad -2{,}5<x<4{,}5.$$
$$-3x^2+8x+6\ge -\frac23$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$-3x^2+8x+6+\frac23\ge 0$$
$$-3x^2+8x+\frac{20}{3}\ge 0$$
Умножим на $$3$$:
$$-9x^2+24x+20\ge 0$$
Найдём корни уравнения $$-9x^2+24x+20=0$$:
$$D=24^2-4\cdot(-9)\cdot 20=576+720=1296$$
$$x_{1,2}=\frac{-24\pm \sqrt{1296}}{2\cdot(-9)}=\frac{-24\pm 36}{-18}$$
$$x_1=-\frac23,\quad x_2=\frac{10}{3}$$
Так как ветви параболы направлены вниз, то неравенство выполняется между корнями:
$$-\frac23\le x\le \frac{10}{3}.$$
Пусть $$x$$ — время заполнения бассейна через первую трубу, $$y$$ — через вторую трубу.
Тогда по условию:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}$$
и
$$\frac{5}{x}+\frac{9}{y}=\frac{1}{2}.$$
Умножим первое уравнение на $$12$$, второе — на $$2xy$$:
$$x+y=\frac{xy}{12}$$
$$10y+18x=xy.$$
Из первого уравнения:
$$12x+12y=xy.$$
Вычтем из него второе:
$$12x+12y-(10y+18x)=0$$
$$2y-6x=0$$
$$y=3x.$$
Подставим в уравнение $$12x+12y=xy$$:
$$12x+12\cdot 3x=x\cdot 3x$$
$$48x=3x^2$$
$$3x^2-48x=0$$
$$3x(x-16)=0$$
$$x=16$$
Тогда
$$y=3\cdot 16=48.$$