Упр.489 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите множество решений неравенства:
1) $$x^2\le 49$$;
2) $$x^2>5$$;
3) $$7x^2\le 4x$$;
4) $$0{,}9x^2<-27x$$.
Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 50 км/ч, а второго — 40 км/ч. Через 0,5 ч из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который обогнал первый на 1,5 ч позже, чем второй. Найдите скорость третьего автомобиля.

Подробный ответ

$$x^2 \le 49$$
$$x^2-49 \le 0$$
$$(x-7)(x+7)\le 0$$
$$x \in [-7;7]$$
$$x^2>5$$
$$x^2-5>0$$
$$(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)>0$$
$$x \in (-\infty;-\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty)$$
$$7x^2\le 4x$$
$$7x^2-4x\le 0$$
$$x(7x-4)\le 0$$
$$x \in \left[0;\frac47\right]$$
$$0{,}9x^2<-27x$$ $$0{,}9x^2+27x<0$$ $$0{,}9x(x+30)<0$$ $$x \in (-30;0)$$

Ответ

1) $$[-7;7]$$;
2) $$(-\infty;-\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty)$$;
3) $$\left[0;\frac47\right]$$;
4) $$(-30;0)$$.

Пусть $$v$$ км/ч — скорость третьего автомобиля, а $$t$$ ч — время от момента выезда третьего автомобиля до момента, когда он догнал второй.

Тогда до встречи со вторым автомобилем третий ехал $$t$$ часов, а до встречи с первым — $$t+1{,}5$$ часов. Первый автомобиль к этому моменту ехал $$t+0{,}5+1{,}5=t+2$$ часа, второй — $$t+0{,}5$$ часа.

Составим уравнения по равенству пройденных путей:

$$40(t+0{,}5)=vt$$

$$50(t+2)=v(t+1{,}5)$$

Из первого уравнения:

$$v=\frac{40t+20}{t}$$

Подставим во второе:

$$50(t+2)=\frac{40t+20}{t}(t+1{,}5)$$

$$50t+100=\frac{40t+20}{t}(t+1{,}5)$$

$$50t^2+100t=(40t+20)(t+1{,}5)$$

$$50t^2+100t=40t^2+80t+30$$

$$10t^2+20t-30=0$$

$$t^2+2t-3=0$$