Упр.488 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) х^2 + 4х + 3 > 0;
2) х^2 — 3x + 2 <= 0; 3) -х^2 + 12х + 45 < 0; 4) -Зх^2 - 5х - 2 >= 0;
5) х^2 — 5х > 0;
6) -25x^2 + 16 <= 0; 7) 5х^2 - Зх + 1 >= 0;
8) -Зх^2 + 6х — 4 > 0;
9) -х^2 — 2х + 3 <= 0; 10) -х^2 + 1/3х - 1/36 > 0;
11) 2x^2 — 2x + 0,5 < 0. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если за 2 ч автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 ч.

1. $$x^2+4x+3>0$$
   $$x^2+4x+3=(x+3)(x+1)$$
   Корни: $$x=-3$$ и $$x=-1$$.
   Произведение положительно вне корней:
   $$x\in(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty).$$
2. $$x^2-3x+2\le 0$$
   $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$
   Тогда
   $$x\in[1;2].$$
3. $$-x^2+12x+45<0$$
   Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
   $$x^2-12x-45>0$$
   $$x^2-12x-45=(x-15)(x+3)$$
   Значит,
   $$x\in(-\infty;-3)\cup(15;+\infty).$$
4. $$-3x^2-5x-2\ge 0$$
   Умножим на $$-1$$:
   $$3x^2+5x+2\le 0$$
   $$3x^2+5x+2=(3x+2)(x+1)$$
   Тогда
   $$x\in\left[-1;-\frac23\right].$$
5. $$x^2-5x>0$$
   $$x(x-5)>0$$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;0)\cup(5;+\infty).$$
6. $$-25x^2+16\le 0$$
   $$25x^2-16\ge 0$$
   $$\left(5x-4\right)\left(5x+4\right)\ge 0$$
   Тогда
   $$x\in\left(-\infty;-\frac45\right]\cup\left[\frac45;+\infty\right).$$
7. $$5x^2-3x+1\ge 0$$
   $$D=(-3)^2-4\cdot 5\cdot 1=9-20=-11<0$$
   Так как $$a>0$$ и корней нет, то неравенство выполняется при всех $$x$$:
   $$x\in\mathbb{R}.$$
8. $$-3x^2+6x-4>0$$
   Умножим на $$-1$$:
   $$3x^2-6x+4<0$$
   $$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 4=36-48=-12<0$$
   При $$a>0$$ выражение всегда положительно, значит решений нет.
9. $$\frac13x^2-2x+3\le 0$$
   Умножим на $$3$$:
   $$x^2-6x+9\le 0$$
   $$\left(x-3\right)^2\le 0$$
   Значит,
   $$x=3.$$
10. $$-x^2+\frac13x-\frac1{36}>0$$
    Умножим на $$36$$:
    $$-36x^2+12x-1>0$$
    $$36x^2-12x+1<0$$
    $$\left(6x-1\right)^2<0$$
    Квадрат не может быть отрицательным, значит решений нет.
11. $$2x^2-2x+0{,}5<0$$
    Умножим на $$2$$:
    $$4x^2-4x+1<0$$
    $$\left(2x-1\right)^2<0$$
    Решений нет.

Ход решения

Пусть $$x$$ км/ч — скорость автобуса, $$y$$ км/ч — скорость автомобиля.

По условию автобус едет на 1 час дольше, значит

$$\frac{240}{x}=\frac{240}{y}+1.$$

Также за 2 часа автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 час:

$$2x=y+40.$$

Тогда $$y=2x-40$$, и

$$\frac{240}{x}-\frac{240}{2x-40}=1.$$

Умножим на $$x(2x-40)$$:

$$240(2x-40)-240x=x(2x-40).$$

$$480x-9600-240x=2x^2-40x$$

$$2x^2-280x+9600=0$$

$$x^2-140x+4800=0.$$

Найдём корни:

$$D=140^2-4\cdot 4800=19600-19200=400,$$

$$x=\frac{140\pm 20}{2}.$$

$$x_1=60,\quad x_2=80.$$

Тогда

$$y_1=2\cdot 60-40=80,$$

$$y_2=2\cdot 80-40=120.$$

Оба значения подходят.

Ответ

1) $$(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)$$; 2) $$[1;2]$$; 3) $$(-\infty;-3)\cup(15;+\infty)$$; 4) $$\left[-1;-\frac23\right]$$; 5) $$(-\infty;0)\cup(5;+\infty)$$; 6) $$\left(-\infty;-\frac45\right]\cup\left[\frac45;+\infty\right)$$; 7) $$\mathbb{R}$$; 8) решений нет; 9) $$3$$; 10) решений нет; 11) решений нет; скорость автобуса $$60$$ км/ч или $$80$$ км/ч, скорость автомобиля $$80$$ км/ч или $$120$$ км/ч.