Упр.486 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) -х^2 + 2х — 2 < 0;
2) -х^2 + 2х - 2 <= 0;
3) -х^2 + 2х - 2 > 0;
4) -х^2 + 2х — 2 >= 0. Катер проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению реки за 3 ч, а 15 км по течению — на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения.
Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.
Пусть $$x$$ — собственная скорость катера, $$y$$ — скорость течения реки. Тогда скорость катера против течения равна $$x-y$$, а по течению — $$x+y$$.
Составим уравнения по условию:
$$\frac{48}{x-y}+\frac{30}{x+y}=3,$$
$$\frac{36}{x-y}-\frac{15}{x+y}=1.$$
Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$2$$:
$$\frac{240}{x-y}+\frac{150}{x+y}=15,$$
$$\frac{72}{x-y}-\frac{30}{x+y}=2.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$\frac{168}{x-y}+\frac{180}{x+y}=13.$$
Удобнее воспользоваться исходной системой. Обозначим
$$a=\frac{1}{x-y}, \qquad b=\frac{1}{x+y}.$$
Тогда получаем систему:
$$48a+30b=3,$$
$$36a-15b=1.$$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$72a-30b=2.$$
Сложим уравнения:
$$120a=5,$$
$$a=\frac{1}{24}.$$
Тогда
$$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{24}, \qquad x-y=24.$$
Подставим в первое уравнение:
$$48\cdot \frac{1}{24}+30b=3,$$
$$2+30b=3,$$
$$30b=1,$$
$$b=\frac{1}{30}, \qquad x+y=30.$$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x-y=24,\\ x+y=30. \end{cases} $$
$$2x=54,\qquad x=27,$$
$$y=30-27=3.$$
Ответ
$$27\text{ км/ч}$$ — собственная скорость катера, $$3\text{ км/ч}$$ — скорость течения реки.
