Упр.480 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя».
А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько денег у каждого?

1. Пусть $$x$$ мин — время, за которое первая труба наполняет бак, тогда вторая труба наполняет его за $$x+10$$ мин.

2. За 8 минут первая труба заполнит $$\frac{8}{x}$$ бака, а вторая — $$\frac{8}{x+10}$$ бака. По условию:

   $$\frac{8}{x}+\frac{8}{x+10}=\frac{2}{3}$$

3. Умножим на $$3x(x+10)$$:

   $$24(x+10)+24x=2x(x+10)$$

   $$24x+240+24x=2x^2+20x$$

   $$2x^2-28x-240=0$$

   $$x^2-14x-120=0$$

4. Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-14)^2-4\cdot 1\cdot(-120)=196+480=676$$

   $$x=\frac{14\pm 26}{2}$$

   $$x_1=-6,\quad x_2=20$$

   Отрицательное значение не подходит, значит $$x=20$$.

5. Тогда вторая труба наполняет бак за:

   $$20+10=30$$

Ответ

20 мин и 30 мин.

Ход решения

1. Пусть у первого было $$x$$ динариев, у второго — $$y$$ динариев.

2. По условию, если первому дать 7 динариев, а у второго отнять 7, то первый станет в 5 раз богаче второго:

   $$x+7=5(y-7)$$

   $$x=5y-42$$

3. Если второму дать 5 динариев, а у первого отнять 5, то второй станет в 7 раз богаче первого:

   $$y+5=7(x-5)$$

4. Подставим $$x=5y-42$$ во второе уравнение:

   $$y+5=7(5y-42-5)$$

   $$y+5=35y-329$$

   $$34y=334$$

   $$y=\frac{334}{34}=\frac{167}{17}=9\frac{14}{17}$$

5. Тогда

   $$x=5\cdot 9\frac{14}{17}-42=7\frac{2}{17}$$

Ответ

$$7\frac{2}{17}$$ динария и $$9\frac{14}{17}$$ динария.