Упр.479 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 20 км/ч, а расстояние между пристанями — 20 км. (Из старинного китайского трактата «Девять отделов искусства счёта».)
5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов — 8 таэлей. Сколько стоят отдельно вол и баран?

Обозначим скорость течения реки через $$x$$ км/ч.

Тогда скорость лодки по течению равна $$20+x$$ км/ч, а против течения — $$20-x$$ км/ч.

Время движения туда и обратно вместе со стоянкой составляет $$2{,}5$$ ч, то есть $$2{,}5-\frac{25}{60}=\frac{5}{2}-\frac{5}{12}=\frac{25}{12}$$ ч.

Составим уравнение:

$$\frac{20}{20+x}+\frac{20}{20-x}=\frac{25}{12}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{20(20-x)+20(20+x)}{(20+x)(20-x)}=\frac{25}{12} $$

$$ \frac{800}{400-x^2}=\frac{25}{12}. $$

Перемножим крест-накрест:

$$ 800\cdot 12=25(400-x^2) $$

$$ 9600=10000-25x^2 $$

$$ 25x^2=400 $$

$$ x^2=16 $$

$$ x=4. $$

Скорость течения не может быть отрицательной, значит $$x=4$$ км/ч.

Ответ

$$4\text{ км/ч}$$

Ход решения

Обозначим: $$x$$ — цена одного вола, $$y$$ — цена одного барана.

Составим систему по условию:

$$ \begin{cases} 5x+2y=11,\\ 2x+8y=8. \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $$-2{,}5$$ или, что удобнее, первое на $$4$$:

$$ \begin{cases} 20x+8y=44,\\ 2x+8y=8. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 18x=36, $$

$$ x=2. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 5\cdot 2+2y=11, $$

$$ 10+2y=11, $$

$$ 2y=1, $$

$$ y=\frac{1}{2}. $$

Ответ

Вол стоит $$2$$ таэля, баран — $$\frac{1}{2}$$ таэля.