Упр.474 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — нули функции $$y=2x^2-(3a-1)x+a-4$$, $$x_1
2. Докажите, что значение выражения $$25^{10}-5^{17}$$ кратно числу $$31$$.

Рассмотрим функцию $$y=2x^2-(3a-1)x+a-4.$$ Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Чтобы число $$1$$ принадлежало промежутку $$[x_1;x_2]$$, достаточно и необходимо, чтобы значение функции при $$x=1$$ было не положительным:

$$y(1)\le 0.$$

Подставим $$x=1$$:

$$2\cdot 1^2-(3a-1)\cdot 1+a-4\le 0$$

$$2-3a+1+a-4\le 0$$

$$-2a-1\le 0$$

$$-2a\le 1$$

$$a\ge -\frac12.$$

Докажем, что $$25^{10}-5^{17}$$ кратно $$31$$:

$$25^{10}-5^{17}=(5^2)^{10}-5^{17}=5^{20}-5^{17}$$

$$=5^{17}(5^3-1)=5^{17}(125-1)=5^{17}\cdot 124$$

Так как $$124=4\cdot 31$$, то

$$25^{10}-5^{17}=5^{17}\cdot 4\cdot 31,$$

значит, выражение делится на $$31$$.

Ответ

$$a\in\left[-\frac12;+\infty\right),$$ $$25^{10}-5^{17}$$ кратно $$31$$.