Упр.474 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

При каких значениях а число 1 принадлежит промежутку [х1; х2]? Докажите, что значение выражения 25^10 — 5^17 кратно числу 31.

Рассмотрим функцию $$y=2x^2-(3a-1)x+a-4.$$ Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Чтобы число $$1$$ принадлежало промежутку $$[x_1;x_2]$$, достаточно и необходимо, чтобы значение функции при $$x=1$$ было не положительным:

$$y(1)\le 0.$$

Подставим $$x=1$$:

$$ 2\cdot 1^2-(3a-1)\cdot 1+a-4\le 0 $$

$$ 2-3a+1+a-4\le 0 $$

$$ -2a-1\le 0 $$

$$ -2a\le 1 $$

$$ a\ge -\frac12. $$

Докажем, что $$25^{10}-5^{17}$$ кратно $$31$$:

$$ 25^{10}-5^{17}=(5^2)^{10}-5^{17}=5^{20}-5^{17} $$

$$ =5^{17}(5^3-1)=5^{17}(125-1)=5^{17}\cdot 124 $$

Так как $$124=4\cdot 31$$, то

$$ 25^{10}-5^{17}=5^{17}\cdot 4\cdot 31, $$

значит, выражение делится на $$31$$.

Ответ

$$a\in\left[-\frac12;+\infty\right),$$ $$25^{10}-5^{17}$$ кратно $$31$$.