Упр.473 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

• Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — нули функции $$y=-3x^2-(3a-2)x+2a+3$$. При каких значениях $$a$$ выполняется неравенство $$x_1<-2
• Сколько решений в зависимости от значения $$a$$ имеет система уравнений:
  1) $$\begin{cases} x^2+y^2=a,\\ |y|=1. \end{cases}$$

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — нули функции $$y=-3x^2-(3a-2)x+2a+3.$$

Чтобы выполнялось неравенство $$x_1<-2<x_2,$$ достаточно, чтобы парабола пересекала ось $$Ox$$ в двух точках, а значение функции при $$x=-2$$ было положительным:

$$y(-2)>0.$$

Вычислим:

$$y(-2)=-3\cdot(-2)^2-(3a-2)\cdot(-2)+2a+3$$

$$=-12+6a-4+2a+3=8a-13.$$

Тогда

$$8a-13>0,$$

$$a>\frac{13}{8}.$$

При таких значениях $$a$$ точка $$x=-2$$ лежит между корнями, то есть $$x_1<-2<x_2$$.

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=a,\\ |y|=1. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем два случая:

$$y=1 \quad \text{или} \quad y=-1.$$

1) Если $$y=1,$$ то

$$x^2+1=a,$$

$$x^2=a-1.$$

Значит:

• при $$a<1$$ решений нет;
• при $$a=1$$ одно решение;
• при $$a>1$$ два решения.

2) Если $$y=-1,$$ то

$$x^2+1=a,$$

и получаем те же выводы:

• при $$a<1$$ решений нет;
• при $$a=1$$ одно решение;
• при $$a>1$$ два решения.

Итак, для всей системы:

• при $$a<1$$ решений нет;
• при $$a=1$$ два решения;
• при $$a>1$$ четыре решения.

Для системы

$$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ xy=4 \end{cases}$$

подставим $$y=\dfrac{4}{x}$$:

$$x^2+\left(\frac{4}{x}\right)^2=a^2,$$

$$x^2+\frac{16}{x^2}=a^2.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-a^2x^2+16=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-a^2t+16=0.$$

Чтобы были действительные решения, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=a^4-64\ge 0.$$

$$a^4\ge 64,$$

$$a^2\ge 8,$$

$$|a|\ge 2\sqrt2.$$

Следовательно:

• при $$-2\sqrt2<a<2\sqrt2$$ решений нет;
• при $$a=\pm 2\sqrt2$$ — 2 решения;
• при $$a<-2\sqrt2$$ или $$a>2\sqrt2$$ — 4 решения.

Ответ

$$a>\frac{13}{8};$$

1) $$a<1$$ — решений нет, $$a=1$$ — 2 решения, $$a>1$$ — 4 решения;

2) $$-2\sqrt2<a<2\sqrt2$$ — решений нет, $$a=\pm 2\sqrt2$$ — 2 решения, $$a<-2\sqrt2$$ или $$a>2\sqrt2$$ — 4 решения.