Упр.473 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
При каких значениях а выполняется неравенство х1 < -2 < х2? Сколько решений в зависимости от значения а имеет система уравений 1) система х^2 + у^2 = а, |y| = 1;
Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — нули функции $$y=-3x^2-(3a-2)x+2a+3.$$
Чтобы выполнялось неравенство $$x_1<-2<x_2,$$ достаточно, чтобы парабола пересекала ось $$Ox$$ в двух точках, а значение функции при $$x=-2$$ было положительным:
$$y(-2)>0.$$
Вычислим:
$$ y(-2)=-3\cdot(-2)^2-(3a-2)\cdot(-2)+2a+3 $$
$$ =-12+6a-4+2a+3=8a-13. $$
Тогда
$$ 8a-13>0, $$
$$ a>\frac{13}{8}. $$
При таких значениях $$a$$ точка $$x=-2$$ лежит между корнями, то есть $$x_1<-2<x_2$$.
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=a,\\ |y|=1. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем два случая:
$$y=1 \quad \text{или} \quad y=-1.$$
1) Если $$y=1,$$ то
$$ x^2+1=a, $$
$$ x^2=a-1. $$
Значит:
- при $$a<1$$ решений нет;
- при $$a=1$$ одно решение;
- при $$a>1$$ два решения.
2) Если $$y=-1,$$ то
$$ x^2+1=a, $$
и получаем те же выводы:
- при $$a<1$$ решений нет;
- при $$a=1$$ одно решение;
- при $$a>1$$ два решения.
Итак, для всей системы:
- при $$a<1$$ решений нет;
- при $$a=1$$ два решения;
- при $$a>1$$ четыре решения.
Для системы
$$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ xy=4 \end{cases} $$
подставим $$y=\dfrac{4}{x}$$:
$$ x^2+\left(\frac{4}{x}\right)^2=a^2, $$
$$ x^2+\frac{16}{x^2}=a^2. $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ x^4-a^2x^2+16=0. $$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$ t^2-a^2t+16=0. $$
Чтобы были действительные решения, дискриминант должен быть неотрицательным:
$$ D=a^4-64\ge 0. $$
$$ a^4\ge 64, $$
$$ a^2\ge 8, $$
$$ |a|\ge 2\sqrt2. $$
Следовательно:
- при $$-2\sqrt2<a<2\sqrt2$$ решений нет;
- при $$a=\pm 2\sqrt2$$ — 2 решения;
- при $$a<-2\sqrt2$$ или $$a>2\sqrt2$$ — 4 решения.
Ответ
$$a>\frac{13}{8};$$
1) $$a<1$$ — решений нет, $$a=1$$ — 2 решения, $$a>1$$ — 4 решения;
2) $$-2\sqrt2<a<2\sqrt2$$ — решений нет, $$a=\pm 2\sqrt2$$ — 2 решения, $$a<-2\sqrt2$$ или $$a>2\sqrt2$$ — 4 решения.
