Упр.472 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=-x^2-4x+5$$. Используя построенный график, определите, сколько корней имеет уравнение $$-x^2-4x+5=a$$ в зависимости от значения $$a$$.
Сколько решений в зависимости от значения $$a$$ имеет система уравнений:
1) $$\begin{cases} y=|x|,\\ x^2+y=a. \end{cases}$$

Подробный ответ

Функция $$y=-x^2-4x+5$$ — парабола, ветви направлены вниз.

Найдём вершину:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\cdot(-1)}=-2,$$

$$y_0=-(-2)^2-4\cdot(-2)+5=-4+8+5=9.$$

Значит, наибольшее значение функции равно $$9$$. Поэтому уравнение

$$-x^2-4x+5=a$$

имеет:

два корня при $$a<9$$;
один корень при $$a=9$$;
не имеет корней при $$a>9$$.

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} y=|x|,\\ x^2+y=a. \end{cases}$$

Подставим $$y=|x|$$ во второе уравнение:

$$x^2+|x|=a.$$

Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x^2=t^2$$. Получаем:

$$t^2+t=a,$$

или

$$t^2+t-a=0.$$

Для каждого подходящего значения $$t>0$$ уравнение $$|x|=t$$ даёт два решения $$x=\pm t$$, а при $$t=0$$ — одно решение $$x=0$$.

Из уравнения $$t^2+t-a=0$$ имеем:

$$D=1+4a.$$

Если $$a<0$$, то правая часть $$a$$ отрицательна, а левая $$x^2+|x|\ge 0$$, значит решений нет.

Если $$a=0$$, то

$$x^2+|x|=0,$$

откуда $$x=0$$ — одно решение.

Если $$a>0$$, то уравнение $$t^2+t-a=0$$ имеет один положительный и один отрицательный корень, поэтому подходит только один положительный $$t$$, а значит, система имеет два решения.