Упр.471 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Используя построенный график, определите, при каких значениях а уравнение х^2 + 2х — 3 = а:
1) имеет два корня;
2) имеет один корень;
3) не имеет корней. При каких значениях k система уравнений
система
у — х^2 = 4,
у = kx + 3
1) имеет одно решение;
2) имеет два решения;
3) не имеет решений?

Рассмотрим функцию $$y=x^2+2x-3.$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдём вершину:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,$$

$$y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-3=1-2-3=-4.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-4.$$

Поэтому уравнение $$x^2+2x-3=a$$:

• имеет два корня при $$a>-4;$$
• имеет один корень при $$a=-4;$$
• не имеет корней при $$a<-4.$$

Теперь рассмотрим систему

$$ \begin{cases} y-x^2=4,\\ y=kx+3. \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое:

$$kx+3-x^2=4,$$

$$x^2-kx+1=0.$$

Для числа решений системы нужно исследовать дискриминант:

$$D=(-k)^2-4\cdot 1\cdot 1=k^2-4.$$

1) Одно решение, если $$D=0$$:

$$k^2-4=0,$$

$$k=\pm 2.$$

2) Два решения, если $$D>0$$:

$$k^2-4>0,$$

$$k<-2 \text{ или } k>2.$$

3) Нет решений, если $$D<0$$:

$$k^2-4<0,$$

$$-2<k<2.$$

Ответ

1) $$a>-4$$; 2) $$a=-4$$; 3) $$a<-4$$.

Для системы: 1) $$k=\pm 2$$; 2) $$k<-2$$ или $$k>2$$; 3) $$-2<k<2$$.