Упр.471 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=x^2+2x-3$$. Используя построенный график, определите, при каких значениях $$a$$ уравнение $$x^2+2x-3=a$$:
   1) имеет два корня;
   2) имеет один корень;
   3) не имеет корней.
2. При каких значениях $$k$$ система уравнений
   $$\begin{cases} y-x^2=4, \\ y=kx+3 \end{cases}$$
   1) имеет одно решение;
   2) имеет два решения;
   3) не имеет решений?

Рассмотрим функцию $$y=x^2+2x-3.$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдём вершину:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,$$

$$y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-3=1-2-3=-4.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-4.$$

Поэтому уравнение $$x^2+2x-3=a$$:

• имеет два корня при $$a>-4;$$
• имеет один корень при $$a=-4;$$
• не имеет корней при $$a<-4.$$

Теперь рассмотрим систему

$$\begin{cases} y-x^2=4,\\ y=kx+3. \end{cases}$$

Подставим второе уравнение в первое:

$$kx+3-x^2=4,$$

$$x^2-kx+1=0.$$

Для числа решений системы нужно исследовать дискриминант:

$$D=(-k)^2-4\cdot 1\cdot 1=k^2-4.$$

1) Одно решение, если $$D=0$$:

$$k^2-4=0,$$

$$k=\pm 2.$$

2) Два решения, если $$D>0$$:

$$k^2-4>0,$$

$$k<-2 \text{ или } k>2.$$

3) Нет решений, если $$D<0$$:

$$k^2-4<0,$$

$$-2<k<2.$$

Ответ

1) $$a>-4$$; 2) $$a=-4$$; 3) $$a<-4$$.

Для системы: 1) $$k=\pm 2$$; 2) $$k<-2$$ или $$k>2$$; 3) $$-2<k<2$$.