Упр.470 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Постройте график функции:
1) $$y=\frac{x^3}{|x|}+4x$$;
2) $$y=6|x|-x^2$$. - При каких значениях $$a$$ система уравнений
$$\begin{cases} x^2+y^2=9,\\ x-y=a \end{cases}$$
1) имеет одно решение;
2) имеет два решения;
3) не имеет решений?
1) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^3}{|x|}+4x.$$
При $$x>0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда
$$y=\frac{x^3}{x}+4x=x^2+4x.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, тогда
$$y=\frac{x^3}{-x}+4x=-x^2+4x.$$
Значит, график состоит из двух ветвей парабол:
$$y= \begin{cases} x^2+4x, & x>0,\\ -x^2+4x, & x<0. \end{cases}$$
Найдём вершины этих парабол:
для $$y=x^2+4x$$:
$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,\qquad y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)=-4;$$
для $$y=-x^2+4x$$:
$$x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,\qquad y_0=-(2)^2+4\cdot2=4.$$
2) Рассмотрим функцию $$y=6|x|-x^2.$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда
$$y=6x-x^2.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, тогда
$$y=-6x-x^2.$$
Значит,
$$y= \begin{cases} 6x-x^2, & x\ge 0,\\ -6x-x^2, & x<0. \end{cases}$$
Вершины парабол:
для $$y=6x-x^2$$:
$$x_0=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3,\qquad y_0=6\cdot3-3^2=9;$$
для $$y=-6x-x^2$$:
$$x_0=-\frac{-6}{2\cdot(-1)}=-3,\qquad y_0=-6\cdot(-3)-(-3)^2=9.$$
3) Для системы
$$\begin{cases} x^2+y^2=9,\\ x-y=a \end{cases}$$
выразим $$y$$:
$$y=x-a.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+(x-a)^2=9$$
$$2x^2-2ax+a^2-9=0.$$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:
$$D=(-2a)^2-4\cdot2\cdot(a^2-9)=4a^2-8a^2+72=72-4a^2.$$
Тогда:
- одно решение, если $$D=0$$:
$$72-4a^2=0,\qquad a^2=18,\qquad a=\pm 3\sqrt2;$$
- два решения, если $$D>0$$:
$$72-4a^2>0,\qquad a^2<18,\qquad -3\sqrt2<a<3\sqrt2;$$
- нет решений, если $$D<0$$:
$$72-4a^2<0,\qquad a^2>18,\qquad a<-3\sqrt2 \text{ или } a>3\sqrt2.$$
Ответ
1) $$y= \begin{cases} x^2+4x, & x>0,\\ -x^2+4x, & x<0 \end{cases}$$
2) $$y= \begin{cases} 6x-x^2, & x\ge 0,\\ -6x-x^2, & x<0 \end{cases}$$
3) одно решение — при $$a=\pm 3\sqrt2$$; два решения — при $$-3\sqrt2<a<3\sqrt2$$; решений нет — при $$a<-3\sqrt2$$ или $$a>3\sqrt2$$.
