Упр.470 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) y = x^3 / |x| + 4x,
2) y = 6|х| — х^2. При каких значениях а система уравнений
система
х^2 + у^2 = 9,
х — у = а
1) имеет одно решение;
2) имеет два решения;
3) не имеет решений?

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^3}{|x|}+4x.$$

При $$x>0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда

$$y=\frac{x^3}{x}+4x=x^2+4x.$$

При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, тогда

$$y=\frac{x^3}{-x}+4x=-x^2+4x.$$

Значит, график состоит из двух ветвей парабол:

$$ y= \begin{cases} x^2+4x, & x>0,\\ -x^2+4x, & x<0. \end{cases} $$

Найдём вершины этих парабол:

для $$y=x^2+4x$$:

$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,\qquad y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)=-4;$$

для $$y=-x^2+4x$$:

$$x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,\qquad y_0=-(2)^2+4\cdot2=4.$$

2) Рассмотрим функцию $$y=6|x|-x^2.$$

При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда

$$y=6x-x^2.$$

При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, тогда

$$y=-6x-x^2.$$

Значит,

$$ y= \begin{cases} 6x-x^2, & x\ge 0,\\ -6x-x^2, & x<0. \end{cases} $$

Вершины парабол:

для $$y=6x-x^2$$:

$$x_0=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3,\qquad y_0=6\cdot3-3^2=9;$$

для $$y=-6x-x^2$$:

$$x_0=-\frac{-6}{2\cdot(-1)}=-3,\qquad y_0=-6\cdot(-3)-(-3)^2=9.$$

3) Для системы

$$ \begin{cases} x^2+y^2=9,\\ x-y=a \end{cases} $$

выразим $$y$$:

$$y=x-a.$$

Подставим в первое уравнение:

$$ x^2+(x-a)^2=9 $$

$$ 2x^2-2ax+a^2-9=0. $$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:

$$ D=(-2a)^2-4\cdot2\cdot(a^2-9)=4a^2-8a^2+72=72-4a^2. $$

Тогда:

• одно решение, если $$D=0$$:

$$72-4a^2=0,\qquad a^2=18,\qquad a=\pm 3\sqrt2;$$

• два решения, если $$D>0$$:

$$72-4a^2>0,\qquad a^2<18,\qquad -3\sqrt2<a<3\sqrt2;$$

• нет решений, если $$D<0$$:

$$72-4a^2<0,\qquad a^2>18,\qquad a<-3\sqrt2 \text{ или } a>3\sqrt2.$$

Ответ

1) $$y= \begin{cases} x^2+4x, & x>0,\\ -x^2+4x, & x<0 \end{cases}$$

2) $$y= \begin{cases} 6x-x^2, & x\ge 0,\\ -6x-x^2, & x<0 \end{cases}$$

3) одно решение — при $$a=\pm 3\sqrt2$$; два решения — при $$-3\sqrt2<a<3\sqrt2$$; решений нет — при $$a<-3\sqrt2$$ или $$a>3\sqrt2$$.