Упр.469 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:
1) $$y=x|x|$$;
2) $$y=\frac{x}{|x|}(x^2-x-6)$$;
3) $$y=x^2-4|x|+3$$;
4) $$y=x^2+3x\cdot\frac{|x-3|}{x-3}-4$$.
Решите систему уравнений:
$$\begin{cases}x^2+10xy+2y^2=49,\\x-5y=-3.\end{cases}$$

Подробный ответ

$$y=x|x|$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит $$y=x^2$$.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит $$y=-x^2$$.
Следовательно, график состоит из двух ветвей парабол: $$y=x^2$$ при $$x \ge 0$$ и $$y=-x^2$$ при $$x<0$$.
$$y=\dfrac{x}{|x|}(x^2-x-6)$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Если $$x>0$$, то $$\dfrac{x}{|x|}=1$$, поэтому
$$y=x^2-x-6.$$
Если $$x<0$$, то $$\dfrac{x}{|x|}=-1$$, поэтому
$$y=-x^2+x+6.$$
Итак, график задаётся двумя параболами, при $$x=0$$ точка не принадлежит графику.
$$y=x^2-4|x|+3$$
Если $$x \ge 0$$, то
$$y=x^2-4x+3.$$
Если $$x<0$$, то
$$y=x^2+4x+3.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$.
$$y=x^2+3x\cdot \dfrac{|x-3|}{x-3}-4$$
Область определения: $$x \ne 3$$.
Если $$x>3$$, то $$|x-3|=x-3$$, значит
$$y=x^2+3x-4.$$
Если $$x<3$$, то $$|x-3|=-(x-3)$$, значит
$$y=x^2-3x-4.$$
При $$x=3$$ функция не определена, поэтому на графике в точке $$x=3$$ — выколотая точка.
Решим систему
$$\begin{cases} x^2+10xy+25y^2=49,\\ x-5y=-3. \end{cases}$$
Первое уравнение преобразуем:
$$(x+5y)^2=49.$$
Тогда
$$x+5y=7 \quad \text{или} \quad x+5y=-7.$$
1) Если $$x+5y=7$$, то вместе с $$x-5y=-3$$ получаем
$$\begin{cases} x+5y=7,\\ x-5y=-3 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x=4,\quad x=2.$$
Тогда
$$2-5y=-3,\quad y=1.$$
2) Если $$x+5y=-7$$, то
$$\begin{cases} x+5y=-7,\\ x-5y=-3 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x=-10,\quad x=-5.$$
Тогда
$$-5-5y=-3,\quad y=-\dfrac{2}{5}.$$