Упр.467 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Постройте график функции:
1) $$y=\frac{8x+2x^2-x^3}{x}$$;
2) $$y=\frac{x^3-8}{x-2}-3$$;
3) $$y=\frac{x^4-16}{x^2-4}$$;
4) $$y=\frac{x^4+4x^2-5}{x^2-1}$$. - Решите систему уравнений:
$$\begin{cases}x+y-xy=1,\\x+y+xy=9.\end{cases}$$
$$y=\frac{8x+2x^2-x^3}{x}=8+2x-x^2,\quad x\ne 0.$$
Это парабола $$y=-x^2+2x+8$$ с выколотой точкой при $$x=0$$. Найдём вершину:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$
$$y_0=8+2\cdot 1-1^2=9.$$
Для построения удобно отметить точку $$\left(0;8\right)$$ как выколотую и вершину $$\left(1;9\right)$$.
$$y=\frac{x^3-8}{x-2}-3=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}-3=x^2+2x+4-3,$$
$$y=x^2+2x+1=(x+1)^2,\quad x\ne 2.$$
Это парабола $$y=(x+1)^2$$ с выколотой точкой при $$x=2$$. Вершина параболы: $$(-1;0)$$, а при $$x=2$$ получаем $$y=9$$, значит точка $$\left(2;9\right)$$ выколота.
$$y=\frac{x^4-16}{x^2-4}=\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2-4}=x^2+4,\quad x\ne \pm 2.$$
Это парабола $$y=x^2+4$$ с выколотыми точками $$(-2;8)$$ и $$\left(2;8\right)$$. Вершина: $$\left(0;4\right)$$.
$$y=\frac{x^4+4x^2-5}{x^2-1}=\frac{(x^2-1)(x^2+5)}{x^2-1}=x^2+5,\quad x\ne \pm 1.$$
Это парабола $$y=x^2+5$$ с выколотыми точками $$(-1;6)$$ и $$\left(1;6\right)$$. Вершина: $$\left(0;5\right)$$.
Решим систему:
$$\begin{cases} x+y-xy=1,\\ x+y+xy=9. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x+2y=10,$$
$$x+y=5,\quad y=5-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x+5-x-x(5-x)=1,$$
$$x^2-5x+4=0,$$
$$\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0.$$
Тогда $$x=1$$ или $$x=4$$.
Если $$x=1$$, то $$y=4$$. Если $$x=4$$, то $$y=1$$.
Ответ
1) $$y=8+2x-x^2,\ x\ne 0$$; 2) $$y=(x+1)^2,\ x\ne 2$$; 3) $$y=x^2+4,\ x\ne \pm 2$$; 4) $$y=x^2+5,\ x\ne \pm 1$$; система: $$\left(1;4\right),\ \left(4;1\right).$$
