Упр.466 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) система
3у — 2ху = 2,
х + 2xy = 5;
1) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$ м. Тогда
$$2(a+b)=160,$$
откуда
$$a+b=80,\qquad b=80-a.$$
Площадь прямоугольника:
$$S=ab=a(80-a)=-a^2+80a.$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:
$$a_0=-\frac{80}{2\cdot(-1)}=40.$$
Тогда
$$b=80-40=40,$$
$$S_{\max}=40\cdot 40=1600.$$
2) Решим систему
$$ \begin{cases} 3y-2xy=2,\\ x+2xy=5. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$3y+x=7,$$
откуда
$$x=7-3y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ (7-3y)+2y(7-3y)=5, $$
$$ 7-3y+14y-6y^2=5, $$
$$ 6y^2-11y-2=0. $$
Найдём корни:
$$ D=(-11)^2-4\cdot 6\cdot(-2)=121+48=169, $$
$$ y=\frac{11\pm 13}{12}. $$
Получаем:
$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac16.$$
Тогда
$$x_1=7-3\cdot 2=1,\qquad x_2=7-3\cdot\left(-\frac16\right)=\frac{15}{2}.$$
Проверим первое значение: при $$y=2$$ имеем $$x=1$$. При $$y=-\frac16$$ получаем $$x=\frac{15}{2}$$, но это тоже подходит.
3) Решим систему
$$ \begin{cases} xy+y=30,\\ xy+x=28. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$y-x=2,\qquad y=x+2.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x(x+2)+x=28,$$
$$x^2+3x-28=0,$$
$$ D=3^2-4\cdot 1\cdot(-28)=121, $$
$$ x=\frac{-3\pm 11}{2}. $$
Отсюда
$$x_1=4,\qquad x_2=-7.$$
Тогда
$$y_1=6,\qquad y_2=-5.$$
4) Решим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2+x+y=18,\\ x^2-y^2+x-y=6. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$2x^2+2x=24,$$
$$x^2+x-12=0,$$
$$ (x-3)(x+4)=0. $$
Значит, $$x=3$$ или $$x=-4$$.
Если $$x=3$$, то из первого уравнения:
$$9+y^2+3+y=18,$$
$$y^2+y-6=0,$$
$$ (y-2)(y+3)=0, $$
откуда $$y=2$$ или $$y=-3$$.
Если $$x=-4$$, то:
$$16+y^2-4+y=18,$$
$$y^2+y-6=0,$$
откуда снова $$y=2$$ или $$y=-3$$.
5) Решим систему
$$ \begin{cases} 2x^2-5xy+3x-2y=10,\\ 5xy-2x^2+7x-8y=10. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$10x-10y=20,$$
$$x-y=2,\qquad y=x-2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2x^2-5x(x-2)+3x-2(x-2)=10, $$
$$ 2x^2-5x^2+10x+3x-2x+4=10, $$
$$ 3x^2-11x+6=0. $$
Найдём корни:
$$ D=(-11)^2-4\cdot 3\cdot 6=49, $$
$$ x=\frac{11\pm 7}{6}. $$
Получаем:
$$x_1=3,\qquad x_2=\frac23.$$
Тогда
$$y_1=1,\qquad y_2=-\frac43.$$
Ответ
1) $$1600\ \text{м}^2$$; 2) $$(1;2),\left(\frac{15}{2};-\frac16\right)$$; 3) $$(4;6),(-7;-5)$$; 4) $$(3;2),\ (3;-3),\ (-4;2),\ (-4;-3)$$; 5) $$(3;1),\left(\frac23;-\frac43\right)$$.
