Упр.465 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Сумма двух чисел равна $$10$$. Найдите: 1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел; 2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.
- Решите систему уравнений:
$$\begin{cases} x^3-y^3=56,\\ x-y=2. \end{cases}$$
Пусть данные числа — $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$x+y=10,\quad y=10-x.$$
Найдём наибольшее значение произведения:
$$xy=x(10-x)=10x-x^2.$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2\cdot(-1)}=5.$$
Тогда
$$y=10-5=5,$$
$$xy=5\cdot 5=25.$$
Найдём наименьшее значение суммы квадратов:
$$x^2+y^2=x^2+(10-x)^2=2x^2-20x+100.$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-20}{2\cdot 2}=5.$$
Тогда
$$y=10-5=5,$$
$$x^2+y^2=5^2+5^2=25+25=50.$$
Решим систему уравнений:
$$\begin{cases} x^3-y^3=56,\\ x-y=2. \end{cases}$$
Используем формулу разности кубов:
$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$
Тогда
$$2(x^2+xy+y^2)=56,$$
$$x^2+xy+y^2=28.$$
Из второго уравнения $$x=y+2$$. Подставим:
$$(y+2)^2+y(y+2)+y^2=28$$
$$y^2+4y+4+y^2+2y+y^2=28$$
$$3y^2+6y-24=0$$
$$y^2+2y-8=0$$
$$(y-2)(y+4)=0$$
$$y=2 \text{ или } y=-4.$$
Тогда
$$x=y+2,$$
$$x=4 \text{ или } x=-2.$$
Получаем пары решений:
$$(-2;\,-4),\ (4;\,2).$$
Решим вторую систему:
$$\begin{cases} 5x^2-y^2=-4,\\ xy=3. \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$y=\frac{3}{x},\quad x\ne 0.$$
Подставим в первое:
$$5x^2-\left(\frac{3}{x}\right)^2=-4$$
$$5x^2-\frac{9}{x^2}=-4$$
$$5x^4+4x^2-9=0.$$
Сделаем замену $$t=x^2$$, тогда $$t\ge 0$$:
$$5t^2+4t-9=0$$
$$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-9)=16+180=196$$
$$t=\frac{-4\pm 14}{10}$$
$$t_1=1,\quad t_2=-\frac{9}{5}.$$
Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=1$$. Значит,
$$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
Тогда
$$y=\frac{3}{x},$$
$$y=3 \text{ при } x=1,\quad y=-3 \text{ при } x=-1.$$
Получаем пары решений:
$$(-1;\,-3),\ (1;\,3).$$
Ответ
1) $$25$$; $$50$$. 2) $$(-2;\,-4),\ (4;\,2)$$; $$(-1;\,-3),\ (1;\,3)$$.
