Упр.464 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
1) система
x^3 + у^3 =1,
х + у = 1;
1) По рисунку видно, что вершина параболы имеет абсциссу $$x_0=0$$, значит для функции $$y=ax^2+bx+c$$ выполняется $$-\frac{b}{2a}=0$$, откуда $$b=0$$. Тогда
$$y=ax^2+c.$$
Парабола проходит через точки $$(-1;0)$$ и $$ (2;3)$$, поэтому:
$$ \begin{cases} 0=a\cdot(-1)^2+c,\\ 3=a\cdot 2^2+c. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} a+c=0,\\ 4a+c=3. \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$3a=3,\quad a=1,$$
тогда
$$c=-1.$$
Ордината вершины равна $$y_0=c=-1.$$
2) Решим систему
$$ \begin{cases} x^3+y^3=1,\\ x+y=1. \end{cases} $$
Используем формулу суммы кубов:
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$
Тогда
$$ 1=(x+y)(x^2-xy+y^2)=1\cdot(x^2-xy+y^2), $$
то есть
$$x^2-xy+y^2=1.$$
Из второго уравнения $$y=1-x$$. Подставим:
$$ x^2-x(1-x)+(1-x)^2=1. $$
Раскроем скобки:
$$ x^2-x+x^2+1-2x+x^2=1, $$
$$ 3x^2-3x=0, $$
$$ 3x(x-1)=0. $$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$.
Если $$x=0$$, то $$y=1$$. Если $$x=1$$, то $$y=0$$.
Следовательно, решения системы: $$ (0;1) $$ и $$ (1;0) $$.
3) Решим систему
$$ \begin{cases} x^3-y^3=28,\\ x^2+xy+y^2=7. \end{cases} $$
По формуле разности кубов:
$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$
Тогда
$$ (x-y)\cdot 7=28, $$
$$x-y=4,$$
то есть $$x=y+4.$$ Подставим во второе уравнение:
$$ (y+4)^2+y(y+4)+y^2=7. $$
$$ y^2+8y+16+y^2+4y+y^2=7, $$
$$ 3y^2+12y+9=0, $$
$$ y^2+4y+3=0, $$
$$ (y+1)(y+3)=0. $$
Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-3$$.
Тогда $$x=3$$ или $$x=1$$ соответственно.
Решения: $$ (3;-1) $$ и $$ (1;-3) $$.
4) Решим систему
$$ \begin{cases} 3x^2-2y^2=19,\\ xy=-6. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$y=-\frac{6}{x}$$, где $$x\neq 0$$. Подставим в первое:
$$ 3x^2-2\left(-\frac{6}{x}\right)^2=19, $$
$$ 3x^2-\frac{72}{x^2}=19. $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ 3x^4-19x^2-72=0. $$
Положим $$t=x^2$$, тогда
$$ 3t^2-19t-72=0. $$
$$ D=19^2+4\cdot 3\cdot 72=1225, $$
$$ t=\frac{19\pm 35}{6}. $$
Получаем:
$$t_1=9,\quad t_2=-\frac{8}{3}.$$
Так как $$t=x^2\ge 0$$, подходит только $$t=9$$. Тогда
$$x=\pm 3.$$
Из $$xy=-6$$ находим:
если $$x=3$$, то $$y=-2$$; если $$x=-3$$, то $$y=2$$.
Решения: $$(-3;2)$$ и $$(3;-2)$$.
Ответ
Ордината вершины: $$-1$$.
1) $$ (0;1),\ (1;0) $$
2) $$ (3;-1),\ (1;-3) $$
3) $$ (-4;-3),\ (4;3) $$
4) $$ (-3;2),\ (3;-2) $$
