Упр.463 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) система
x/y + y/x = 2,5,
2х — 3у = 3;
Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна $$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}.$$
а) По рисунку точки пересечения с осью $$Ox$$: $$x_1=-4,\; x_2=0.$$ Тогда
$$x_0=\frac{-4+0}{2}=-2.$$
Из рисунка видно, что парабола проходит через точки $$ (0;0) $$ и $$ (1;5). $$
Тогда $$c=0,$$ а из точки $$ (1;5) $$ получаем:
$$5=a\cdot 1^2+b\cdot 1+0=a+b.$$
Так как $$x_0=-\frac{b}{2a}=-2,$$ то $$b=4a.$$
Следовательно,
$$5=a+4a=5a,$$
$$a=1,\quad b=4.$$
Ордината вершины:
$$y_0=f(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)=4-8=-4.$$
Ответ: $$-4.$$
б) По рисунку точки пересечения с осью $$Ox$$: $$x_1=1,\; x_2=5.$$ Тогда
$$x_0=\frac{1+5}{2}=3.$$
Парабола проходит через точку $$ (0;-5), $$ значит $$c=-5.$$
Из точки $$ (1;0) $$ получаем:
$$0=a+b-5.$$
Так как $$x_0=-\frac{b}{2a}=3,$$ то $$b=-6a.$$
Подставим:
$$0=a-6a-5,$$
$$-5a=5,$$
$$a=-1,\quad b=6.$$
Ордината вершины:
$$y_0=f(3)=-3^2+6\cdot 3-5=-9+18-5=4.$$
Ответ: $$4.$$
1)
Пусть $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} t+\frac{1}{t}=2{,}5,\\ 2x-3y=3. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$t$$:
$$t^2-2{,}5t+1=0.$$
$$D=2{,}5^2-4=6{,}25-4=2{,}25,$$
$$t_{1,2}=\frac{2{,}5\pm 1{,}5}{2},$$
откуда $$t_1=2,\; t_2=0{,}5.$$
1) Если $$\frac{x}{y}=2,$$ то $$x=2y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$4y-3y=3,$$
$$y=3,\quad x=6.$$
2) Если $$\frac{x}{y}=0{,}5,$$ то $$x=\frac{y}{2}.$$ Тогда
$$y-3y=3,$$
$$-2y=3,\quad y=-\frac{3}{2},\quad x=-\frac{3}{4}.$$
Ответ: $$\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{2}\right),\ (6;3).$$
2)
Пусть $$t=\frac{x-2y}{x+y}.$$ Тогда
$$t-\frac{1}{t}=\frac{15}{4}.$$
Умножим на $$t$$:
$$4t^2-15t-4=0.$$
$$D=15^2+64=289,$$
$$t_{1,2}=\frac{15\pm 17}{8},$$
откуда $$t_1=4,\; t_2=-\frac{1}{4}.$$
1) Если $$\frac{x-2y}{x+y}=4,$$ то
$$x-2y=4x+4y,$$
$$-3x=6y,\quad x=-2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$4(-2y)+5y=3,$$
$$-3y=3,\quad y=-1,\quad x=2.$$
2) Если $$\frac{x-2y}{x+y}=-\frac14,$$ то
$$4(x-2y)=-(x+y),$$
$$5x-7y=0.$$
Решая систему
$$ \begin{cases} 5x-7y=0,\\ 4x+5y=3, \end{cases} $$
получаем
$$x=\frac{21}{53},\quad y=\frac{15}{53}.$$
Ответ: $$\left(\frac{21}{53};\frac{15}{53}\right),\ (2;-1).$$
3)
Пусть $$a=\frac{1}{x},\; b=\frac{1}{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a+4b=4,\\ b-2a=10. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$b=2a+10.$$ Подставим в первое:
$$a+4(2a+10)=4,$$
$$9a=-36,\quad a=-4.$$
Тогда
$$b=2\cdot(-4)+10=2.$$
Возвращаемся к исходным переменным:
$$x=-\frac14,\quad y=\frac12.$$
Ответ: $$\left(-\frac14;\frac12\right).$$
4)
Пусть $$a=\frac{x}{y}.$$ Тогда $$\frac{y}{x}=\frac{1}{a},$$ и система принимает вид
$$ \begin{cases} a+\frac{1}{a}=\frac{10}{3},\\ x^2-y^2=72. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$a$$:
$$3a^2-10a+3=0.$$
$$D=100-36=64,$$
$$a_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},$$
откуда $$a_1=3,\; a_2=\frac13.$$
1) Если $$\frac{x}{y}=3,$$ то $$x=3y.$$ Тогда
$$9y^2-y^2=72,$$
$$8y^2=72,\quad y^2=9,$$
$$y=\pm 3,\quad x=\pm 9.$$
Получаем пары $$(-9;-3)$$ и $$(9;3).$$
2) Если $$\frac{x}{y}=\frac13,$$ то $$x=\frac{y}{3}.$$ Тогда
$$\left(\frac{y}{3}\right)^2-y^2=72,$$
$$-\frac{8}{9}y^2=72,$$
что невозможно.
Ответ: $$(-9;-3),\ (9;3).$$
5)
Пусть $$t=x-y.$$ Тогда
$$4t^2+7t=15,$$
$$4t^2+7t-15=0.$$
$$D=7^2+4\cdot 4\cdot 15=289,$$
$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 17}{8},$$
откуда $$t_1=\frac54,\; t_2=-3.$$
1) Если $$x-y=\frac54,$$ то $$x=y+\frac54.$$ Подставим во второе уравнение:
$$2\left(y+\frac54\right)+5y=1,$$
$$7y=-\frac32,\quad y=-\frac{3}{14},\quad x=\frac{29}{28}.$$
2) Если $$x-y=-3,$$ то $$x=y-3.$$ Тогда
$$2(y-3)+5y=1,$$
$$7y=7,\quad y=1,\quad x=-2.$$
Ответ: $$(-2;1),\ \left(\frac{29}{28};-\frac{3}{14}\right).$$
6)
Пусть $$a=x-y.$$ Тогда
$$a^2=35-2a,$$
$$a^2+2a-35=0.$$
$$D=144,$$
$$a_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{2},$$
откуда $$a_1=-7,\; a_2=5.$$
1) Если $$x-y=-7,$$ то $$y=x+7.$$ Подставим во второе уравнение:
$$(2x+7)^2+2(x+7)=3-2x,$$
$$x^2+8x+15=0,$$
$$x=-5 \text{ или } x=-3.$$
Тогда $$y=2$$ или $$y=4.$$ Получаем пары $$(-5;2)$$ и $$(-3;4).$$
2) Если $$x-y=5,$$ то $$y=x-5.$$ Подставим:
$$ (2x-5)^2+2(x-5)=3-2x,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=3.$$
Тогда $$y=-4$$ или $$y=-2.$$ Получаем пары $$(1;-4)$$ и $$(3;-2).$$
Ответ: $$(-5;2),\ (-3;4),\ (1;-4),\ (3;-2).$$
