Упр.462 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) система
х + у — ху = 1,
ху(х + у) = 20;
Пусть $$y=ax^2+bx+c.$$
Так как вершина параболы находится в точке $$C(4;-10),$$ то
$$x_0=-\frac{b}{2a}=4,$$
откуда $$b=-8a.$$
Кроме того, точка $$C(4;-10)$$ лежит на параболе, значит
$$16a+4b+c=-10.$$
Точка $$D(1;-1)$$ тоже принадлежит графику, поэтому
$$a+b+c=-1.$$
Подставим $$b=-8a$$:
$$a-8a+c=-1,$$
$$c=7a-1.$$
Из уравнения для вершины:
$$16a+4(-8a)+c=-10,$$
$$-16a+c=-10,$$
$$c=16a-10.$$
Тогда
$$7a-1=16a-10,$$
$$9=9a,$$
$$a=1.$$
Следовательно,
$$b=-8,\qquad c=6.$$
Решим систему
$$ \begin{cases} x+y-xy=1,\\ xy(x+y)=20. \end{cases} $$
Обозначим $$u=x+y,$$ $$v=xy.$$ Тогда
$$ \begin{cases} u-v=1,\\ uv=20. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$u=v+1.$$ Подставим во второе:
$$v(v+1)=20,$$
$$v^2+v-20=0,$$
$$\left(v-4\right)\left(v+5\right)=0.$$
Отсюда $$v=4$$ или $$v=-5.$$
1) Если $$xy=4,$$ то $$x+y=5.$$ Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+4=0,$$
$$t=1 \text{ или } t=4.$$
Получаем пары $$\left(1;4\right)$$ и $$\left(4;1\right).$$
2) Если $$xy=-5,$$ то $$x+y=-4.$$ Тогда
$$t^2+4t-5=0,$$
$$t=-5 \text{ или } t=1.$$
Получаем пары $$\left(-5;1\right)$$ и $$\left(1;-5\right).$$
Решим систему
$$ \begin{cases} \dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}=\dfrac{21}{10},\\ x+y=3. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$y=3-x.$$ Подставим в первое:
$$\frac{3-x}{x}-\frac{x}{3-x}=\frac{21}{10}.$$
Умножим на $$10x(3-x):$$
$$10(3-x)^2-10x^2=21x(3-x).$$
После преобразований получаем:
$$7x^2-41x+30=0.$$
$$D=41^2-4\cdot 7\cdot 30=841,$$
$$x_1=\frac{41-29}{14}=\frac{6}{7},\qquad x_2=\frac{41+29}{14}=5.$$
Тогда
$$y_1=3-\frac{6}{7}=\frac{15}{7},\qquad y_2=3-5=-2.$$
Решим систему
$$ \begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6},\\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$\frac{2}{x}=1,$$
$$x=2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6},$$
$$\frac{1}{y}=\frac{1}{3},$$
$$y=3.$$
Решим систему
$$ \begin{cases} \dfrac{y}{x}+xy=-10,\\ \dfrac{5y}{x}-2xy=13. \end{cases} $$
Обозначим $$u=\dfrac{y}{x},$$ $$v=xy.$$ Тогда
$$ \begin{cases} u+v=-10,\\ 5u-2v=13. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$v=-10-u.$$ Подставим во второе:
$$5u-2(-10-u)=13,$$
$$7u=-7,$$
$$u=-1.$$
Тогда $$v=-9.$$ Значит,
$$\frac{y}{x}=-1,\qquad xy=-9.$$
Из $$y=-x$$ получаем
$$x(-x)=-9,$$
$$x^2=9,$$
$$x=\pm 3,$$
$$y=\mp 3.$$
Решим систему
$$ \begin{cases} x^2y^2+xy=6,\\ 2x-y=3. \end{cases} $$
Пусть $$t=xy.$$ Тогда
$$t^2+t-6=0,$$
$$\left(t-2\right)\left(t+3\right)=0.$$
Значит, $$t=2$$ или $$t=-3.$$
1) Если $$xy=2,$$ то $$y=2x-3.$$ Подставим:
$$x(2x-3)=2,$$
$$2x^2-3x-2=0,$$
$$D=25,$$
$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$y_1=1,\qquad y_2=-4.$$
2) Если $$xy=-3,$$ то $$y=2x-3.$$ Подставим:
$$x(2x-3)=-3,$$
$$2x^2-3x+3=0.$$
$$D=9-24=-15,$$
действительных решений нет.
Решим систему
$$ \begin{cases} 3(x+y)^2+2(x-2y)^2=5,\\ 2(x-2y)-x-y=1. \end{cases} $$
Пусть $$a=x+y,$$ $$b=x-2y.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 3a^2+2b^2=5,\\ 2b-a=1. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$a=2b-1.$$ Подставим в первое:
$$3(2b-1)^2+2b^2=5,$$
$$7b^2-6b-1=0.$$
$$D=64,$$
$$b_1=1,\qquad b_2=-\frac{1}{7}.$$
Тогда
$$a_1=1,\qquad a_2=-\frac{9}{7}.$$
1) Если $$x+y=1,$$ $$x-2y=1,$$ то
$$y=0,\qquad x=1.$$
2) Если $$x+y=-\frac{9}{7},$$ $$x-2y=-\frac{1}{7},$$ то
$$3y=-\frac{8}{7},\qquad y=-\frac{8}{21},$$
$$x=-\frac{19}{21}.$$
Ответ
1) $$a=1,\ b=-8,\ c=6$$;
2) $$\left(1;4\right),\ \left(4;1\right),\ \left(-5;1\right),\ \left(1;-5\right)$$;
3) $$\left(\frac{6}{7};\frac{15}{7}\right),\ \left(5;-2\right)$$;
4) $$\left(2;3\right)$$;
5) $$\left(3;-3\right),\ \left(-3;3\right)$$;
6) $$\left(2;1\right),\ \left(-\frac{1}{2};-4\right)$$;
7) $$\left(1;0\right),\ \left(-\frac{19}{21};-\frac{8}{21}\right)$$.
