Упр.461 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) система
1/x + 1/y = 3/2,
х-у = 1;

1) Для параболы $$y=x^2+px+q$$ вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{p}{2}.$$

Так как вершина находится в точке $$A(2;5),$$ то

$$-\frac{p}{2}=2,$$

откуда

$$p=-4.$$

Теперь подставим координаты точки $$A(2;5)$$ в уравнение параболы:

$$5=2^2+2\cdot(-4)+q,$$

$$5=4-8+q,$$

$$q=9.$$

Значит, $$p=-4,\ q=9.$$

2) Решим систему

$$ \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2},\\ x-y=1. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$x=y+1.$$

Подставим в первое:

$$\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}.$$

Умножим на $$2y(y+1)$$:

$$2y+2(y+1)=3y(y+1),$$

$$4y+2=3y^2+3y,$$

$$3y^2-y-2=0.$$

Разложим на множители:

$$3y^2-y-2=(3y+2)(y-1)=0.$$

Тогда

$$y=1 \quad \text{или} \quad y=-\frac{2}{3}.$$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

если $$y=1,$$ то $$x=2;$$

если $$y=-\frac{2}{3},$$ то $$x=\frac{1}{3}.$$

Проверка ОДЗ: $$x\neq 0,\ y\neq 0,$$ оба найденных решения подходят.

3) Решим систему

$$ \begin{cases} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{4}{5},\\ 3x+y=8. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$y=8-3x.$$

Подставим в первое:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{8-3x}=\frac{4}{5}.$$

Умножим на $$5x(8-3x)$$:

$$5(8-3x)-5x=4x(8-3x),$$

$$40-15x-5x=32x-12x^2,$$

$$12x^2-52x+40=0,$$

$$3x^2-13x+10=0.$$

Найдём корни:

$$D=13^2-4\cdot 3\cdot 10=49,$$

$$x=\frac{13\pm 7}{6}.$$

Получаем:

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=\frac{10}{3}.$$

Тогда

при $$x=1$$ имеем $$y=5;$$

при $$x=\frac{10}{3}$$ имеем $$y=-2.$$

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

1) $$p=-4,\ q=9.$$

2) $$(2;1),\ \left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right).$$

3) $$(1;5),\ \left(\frac{10}{3};-2\right).$$