Упр.459 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

На рисунке 64 изображён график квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$. Определите знаки коэффициентов $$a$$, $$b$$ и $$c$$.
Докажите, что:
1) прямая $$y=-2x-4$$ и парабола $$y=6x^2-7x-2$$ не пересекаются;
2) парабола $$y=4x^2-3x+6$$ и прямая $$y=x+5$$ имеют одну общую точку, найдите координаты этой точки;
3) параболы $$y=4x^2-3x-24$$ и $$y=2x^2-5x$$ имеют две общие точки, найдите их координаты.

Подробный ответ

1) Для графика квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$:

если ветви параболы направлены вверх, то $$a>0$$; если вниз, то $$a<0$$.

Абсцисса вершины равна $$x_0=-\frac{b}{2a}$$. Если вершина справа от оси $$Oy$$, то $$x_0>0$$, если слева — $$x_0<0$$.

Ордината точки пересечения с осью $$Oy$$ равна $$c=f(0)$$.

По рисунку:

а) ветви вверх, вершина справа от оси $$Oy$$, пересечение с осью $$Oy$$ ниже оси $$Ox$$, значит $$a>0,\ b<0,\ c<0$$;
б) ветви вниз, вершина слева от оси $$Oy$$, пересечение с осью $$Oy$$ выше оси $$Ox$$, значит $$a<0,\ b<0,\ c>0$$.

2) Найдём точки пересечения прямой $$y=-2x-4$$ и параболы $$y=6x^2-7x-2$$:

$$-2x-4=6x^2-7x-2$$
$$6x^2-5x+2=0$$
$$D=(-5)^2-4\cdot 6\cdot 2=25-48=-23<0$$

Корней нет, значит, графики не пересекаются.

3) Найдём общую точку параболы $$y=4x^2-3x+6$$ и прямой $$y=x+5$$:

$$4x^2-3x+6=x+5$$
$$4x^2-4x+1=0$$
$$(2x-1)^2=0$$
$$x=\frac12$$
$$y=\frac12+5=\frac{11}{2}$$

Общая точка: $$\left(\frac12;\frac{11}{2}\right)$$.

4) Найдём точки пересечения парабол $$y=4x^2-3x-24$$ и $$y=2x^2-5x$$:

$$4x^2-3x-24=2x^2-5x$$
$$2x^2+2x-24=0$$
$$x^2+x-12=0$$
$$(x-3)(x+4)=0$$
$$x_1=3,\quad x_2=-4$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=2\cdot 3^2-5\cdot 3=18-15=3$$
$$y_2=2\cdot (-4)^2-5\cdot (-4)=32+20=52$$

Точки пересечения: $$(3;3)$$ и $$(-4;52)$$.