Упр.459 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что:
1) прямая у = -2х — 4 и парабола у = 6х^2 — 7х — 2 не пересекаются;
2) парабола у = 4х^2 — Зх + 6 и прямая у = х + 5 имеют одну общую точку, найдите координаты этой точки;
3) параболы у = 4х^2 — Зх — 24 и у = 2х^2 — 5х имеют две общие точки найдите их координаты.

Подробный ответ

1) Для графика квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$:

если ветви параболы направлены вверх, то $$a>0$$; если вниз, то $$a<0$$.

Абсцисса вершины равна $$x_0=-\frac{b}{2a}$$. Если вершина справа от оси $$Oy$$, то $$x_0>0$$, если слева — $$x_0<0$$.

Ордината точки пересечения с осью $$Oy$$ равна $$c=f(0)$$.

По рисунку:

а) ветви вверх, вершина справа от оси $$Oy$$, пересечение с осью $$Oy$$ ниже оси $$Ox$$, значит $$a>0,\ b<0,\ c<0$$;
б) ветви вниз, вершина слева от оси $$Oy$$, пересечение с осью $$Oy$$ выше оси $$Ox$$, значит $$a<0,\ b<0,\ c>0$$.

2) Найдём точки пересечения прямой $$y=-2x-4$$ и параболы $$y=6x^2-7x-2$$:

$$ -2x-4=6x^2-7x-2 $$
$$ 6x^2-5x+2=0 $$
$$ D=(-5)^2-4\cdot 6\cdot 2=25-48=-23<0 $$

Корней нет, значит, графики не пересекаются.

3) Найдём общую точку параболы $$y=4x^2-3x+6$$ и прямой $$y=x+5$$:

$$ 4x^2-3x+6=x+5 $$
$$ 4x^2-4x+1=0 $$
$$ (2x-1)^2=0 $$
$$ x=\frac12 $$
$$ y=\frac12+5=\frac{11}{2} $$

Общая точка: $$\left(\frac12;\frac{11}{2}\right)$$.

4) Найдём точки пересечения парабол $$y=4x^2-3x-24$$ и $$y=2x^2-5x$$:

$$ 4x^2-3x-24=2x^2-5x $$
$$ 2x^2+2x-24=0 $$
$$ x^2+x-12=0 $$
$$ (x-3)(x+4)=0 $$
$$ x_1=3,\quad x_2=-4 $$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$ y_1=2\cdot 3^2-5\cdot 3=18-15=3 $$
$$ y_2=2\cdot (-4)^2-5\cdot (-4)=32+20=52 $$

Точки пересечения: $$ (3;3) $$ и $$ (-4;52) $$.