Упр.458 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

(х + 5)^2 + у^2 = 2, найдите координаты точки касания.

1) Рассмотрим функцию $$y=0{,}6x^2-6x+c.$$

Так как $$a=0{,}6>0,$$ парабола направлена вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине.

Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 0{,}6}=5.$$

Подставим $$x=5$$ в функцию и учтём, что наименьшее значение равно $$-1$$:

$$0{,}6\cdot 5^2-6\cdot 5+c=-1$$

$$15-30+c=-1$$

$$c=14.$$

2) Докажем, что прямая $$y-x=3$$ является касательной к окружности $$\left(x+5\right)^2+y^2=2.$$

Подставим из уравнения прямой $$y=x+3$$ в уравнение окружности:

$$\left(x+5\right)^2+\left(x+3\right)^2=2$$

$$x^2+10x+25+x^2+6x+9=2$$

$$2x^2+16x+32=0$$

$$x^2+8x+16=0$$

$$\left(x+4\right)^2=0.$$

Получили единственное решение $$x=-4,$$ тогда

$$y=x+3=-4+3=-1.$$

Значит, общая точка одна, следовательно, прямая является касательной. Точка касания: $$(-4;\,-1).$$

Ответ

$$c=14,$$ точка касания $$(-4;\,-1).$$