Упр.457 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- При каком значении $$c$$ наибольшее значение функции $$y=-5x^2+10x+c$$ равно $$-3$$?
- Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:
1) прямой $$3x-y-1$$ и параболы $$y=3x^2+8x-3$$;
2) прямой $$2x-y=2$$ и гиперболы $$y=\frac{4}{x}$$;
3) прямой $$x+y=1$$ и окружности $$(x-1)^2+(y+4)^2=16$$;
4) параболы $$y=x^2-4x+7$$ и $$y=3+4x-2x^2$$.
1) Для функции $$y=-5x^2+10x+c$$ ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине.
Абсцисса вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2\cdot(-5)}=1.$$
Тогда
$$y_{\max}=y(1)=-5\cdot 1^2+10\cdot 1+c=5+c.$$
По условию $$5+c=-3,$$ откуда
$$c=-8.$$
2) Найдём точки пересечения.
1) $$3x-y=1$$ и $$y=3x^2+8x-3$$
Подставим $$y=3x-1$$ во второе уравнение:
$$3x-1=3x^2+8x-3$$
$$3x^2+5x-2=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49.$$
$$x_1=\frac{-5-7}{6}=-2,\qquad x_2=\frac{-5+7}{6}=\frac13.$$
Тогда
$$y_1=3\cdot(-2)-1=-7,\qquad y_2=3\cdot\frac13-1=0.$$
Точки пересечения: $$(-2;\,-7)$$ и $$\left(\frac13;\,0\right).$$
2) $$2x-y=2$$ и $$y=\frac4x$$
Подставим $$y=2x-2$$:
$$2x-\frac4x=2,$$
$$2x^2-4=2x,$$
$$2x^2-2x-4=0,$$
$$x^2-x-2=0.$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9.$$
$$x_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{1+3}{2}=2.$$
Тогда
$$y_1=\frac4{-1}=-4,\qquad y_2=\frac42=2.$$
Точки пересечения: $$(-1;\,-4)$$ и $$(2;\,2).$$
3) $$x+y=1$$ и $$(x-1)^2+(y+4)^2=16$$
Из первого уравнения $$y=1-x.$$ Подставим:
$$(x-1)^2+(5-x)^2=16,$$
$$x^2-2x+1+x^2-10x+25=16,$$
$$2x^2-12x+10=0,$$
$$x^2-6x+5=0.$$
$$D=36-20=16.$$
$$x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5.$$
Тогда
$$y_1=1-1=0,\qquad y_2=1-5=-4.$$
Точки пересечения: $$(1;\,0)$$ и $$(5;\,-4).$$
4) $$y=x^2-4x+7$$ и $$y=3+4x-2x^2$$
Приравняем:
$$x^2-4x+7=3+4x-2x^2,$$
$$3x^2-8x+4=0.$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot 4=16.$$
$$x_1=\frac{8-4}{6}=\frac23,\qquad x_2=\frac{8+4}{6}=2.$$
Тогда
$$y_1=\left(\frac23\right)^2-4\cdot\frac23+7=\frac{43}{9},$$
$$y_2=2^2-4\cdot 2+7=3.$$
Точки пересечения: $$\left(\frac23;\,\frac{43}{9}\right)$$ и $$(2;\,3).$$
Ответ
$$c=-8.$$
1) $$(-2;\,-7),\ \left(\frac13;\,0\right);$$ 2) $$(-1;\,-4),\ (2;\,2);$$ 3) $$(1;\,0),\ (5;\,-4);$$ 4) $$\left(\frac23;\,\frac{43}{9}\right),\ (2;\,3).$$
