Упр.456 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

х^2 — ху + у^2 = 63,
у — х = 3;

1) Рассмотрим функцию $$y=-4x^2-16x+a.$$

Чтобы она принимала отрицательные значения при всех действительных $$x$$, нужно, чтобы ветви параболы были направлены вниз и наибольшее значение функции было меньше нуля.

Так как $$-4<0,$$ ветви параболы направлены вниз. Найдём вершину:

$$x_0=\frac{-(-16)}{2\cdot(-4)}=-2.$$

Значение функции в вершине:

$$y_{\max}= -4\cdot(-2)^2-16\cdot(-2)+a=-16+32+a=16+a.$$

Требуем:

$$16+a<0,$$

$$a<-16.$$

2) Решим систему

$$ \begin{cases} x^2-xy+y^2=63,\\ y-x=3. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$y=x+3.$$

Подставим в первое:

$$ x^2-x(x+3)+(x+3)^2=63 $$

$$ x^2-x^2-3x+x^2+6x+9=63 $$

$$ x^2+3x-54=0. $$

Найдём корни:

$$ D=3^2-4\cdot1\cdot(-54)=9+216=225, $$

$$ x=\frac{-3\pm\sqrt{225}}{2}=\frac{-3\pm15}{2}. $$

Отсюда:

$$x_1=6,\quad x_2=-9.$$

Тогда

$$y_1=6+3=9,\quad y_2=-9+3=-6.$$

Ответ

$$a<-16; \quad (-9;\,-6),\ (6;\,9).$$