Упр.455 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:
1) система
Зх + 4y = 24,
xy = 12;

Рассмотрим функцию $$y=0{,}5x^2-3x+a.$$

Так как $$0{,}5>0,$$ ветви параболы направлены вверх. Чтобы функция принимала неотрицательные значения при всех действительных $$x,$$ необходимо, чтобы квадратное уравнение

$$0{,}5x^2-3x+a=0$$

не имело действительных корней, то есть

$$D\le 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=(-3)^2-4\cdot 0{,}5\cdot a=9-2a.$$

Тогда

$$9-2a\le 0,$$

$$2a\ge 9,$$

$$a\ge \frac{9}{2}.$$

Значит, функция принимает неотрицательные значения при всех действительных $$x$$ при $$a\ge \frac{9}{2}.$$

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3x+4y=24,\\ xy=12. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$y=\frac{12}{x}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3x+4\cdot \frac{12}{x}=24,$$

$$3x+\frac{48}{x}=24.$$

Умножим на $$x$$:

$$3x^2+48=24x,$$

$$3x^2-24x+48=0,$$

$$x^2-8x+16=0,$$

$$\left(x-4\right)^2=0,$$

$$x=4.$$

Тогда

$$y=\frac{12}{4}=3.$$

Следовательно, решение системы: $$\left(4;3\right).$$

Ответ

$$a\ge \frac{9}{2};\quad \left(4;3\right).$$