Упр.454 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) система
у = (х — 5)^2,
ху = 5;

1) Функция $$y=ax^2+(a-2)x+\frac14$$ является квадратичной, если $$a\ne 0$$.

Чтобы её график имел с осью абсцисс одну общую точку, уравнение

$$ax^2+(a-2)x+\frac14=0$$

должно иметь один корень, то есть дискриминант равен нулю:

$$D=(a-2)^2-4\cdot a\cdot \frac14=0$$

$$a^2-4a+4-a=0$$

$$a^2-5a+4=0$$

$$\left(a-1\right)\left(a-4\right)=0$$

Отсюда

$$a=1 \text{ или } a=4.$$

2) Определим количество решений каждой системы графически.

1. $$ \begin{cases} y=(x-5)^2,\\ xy=5 \end{cases} $$

   Вторая функция: $$y=\frac{5}{x}.$$ Графики пересекаются в двух точках, значит система имеет два решения.

2. $$ \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ y-x=3 \end{cases} $$

   Прямая $$y=x+3$$ не пересекает окружность $$x^2+y^2=1$$, значит решений нет.

3. $$ \begin{cases} y-x^2=1,\\ x^2+y=4x \end{cases} $$

   Имеем $$y=x^2+1$$ и $$y=4x-x^2.$$ Графики пересекаются в двух точках, значит система имеет два решения.

4. $$ \begin{cases} x^2+y^2=6,\\ xy=1 \end{cases} $$

   Графики пересекаются в четырёх точках, значит система имеет четыре решения.

Ответ

1) $$a=1$$ или $$a=4$$; 2) $$2$$ решения; 3) решений нет; 4) $$2$$ решения; 5) $$4$$ решения.