Упр.451 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Изобразите схематически график квадратичной функции у = аx^2 + bх + с, если:
1) а > 0, D < 0, -b/2a < 0;
2) а < 0, D > 0, с < 0, -b/2a > 0;
3) а < 0, D = 0, -b/2a < 0. Решите методом подстановки систему уравнений:
1) система
y = x + 3,
х^2 - 2у = 9;
1) $$a>0,\ D<0,\ -\frac{b}{2a}<0$$
Так как $$a>0$$, ветви параболы направлены вверх. При $$D<0$$ график не пересекает ось $$Ox$$. Поскольку $$-\frac{b}{2a}<0$$, абсцисса вершины отрицательна, значит вершина расположена левее оси $$Oy$$.
Итак, это парабола с ветвями вверх, не пересекающая ось $$Ox$$, с вершиной при $$x<0$$.
2) $$a<0,\ D>0,\ c<0,\ -\frac{b}{2a}>0$$
Так как $$a<0$$, ветви параболы направлены вниз. При $$D>0$$ график пересекает ось $$Ox$$ в двух точках. Из условия $$c<0$$ следует, что $$f(0)=c<0$$, то есть график пересекает ось $$Oy$$ ниже оси $$Ox$$. Поскольку $$-\frac{b}{2a}>0$$, вершина расположена правее оси $$Oy$$.
Итак, это парабола с ветвями вниз, пересекающая ось $$Ox$$ в двух точках, с вершиной при $$x>0$$ и точкой пересечения с осью $$Oy$$ ниже оси $$Ox$$.
3) $$a<0,\ D=0,\ -\frac{b}{2a}<0$$
Так как $$a<0$$, ветви параболы направлены вниз. При $$D=0$$ график касается оси $$Ox$$. Поскольку $$-\frac{b}{2a}<0$$, вершина находится левее оси $$Oy$$.
Итак, это парабола с ветвями вниз, касающаяся оси $$Ox$$, с вершиной при $$x<0$$.
1) $$\begin{cases} y=x+3, \\ x^2-2y=9. \end{cases}$$
Подставим $$y=x+3$$ во второе уравнение:
$$ x^2-2(x+3)=9 \\ x^2-2x-6=9 \\ x^2-2x-15=0 $$
$$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64 $$
$$ x=\frac{2\pm 8}{2} $$
$$x_1=5,\quad x_2=-3$$
Тогда
$$y_1=5+3=8,\quad y_2=-3+3=0$$
Получаем точки пересечения: $$(-3;0)$$ и $$(5;8)$$.
2) $$\begin{cases} x+y=5, \\ xy=4. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=5-x$$
Подставим во второе:
$$ x(5-x)=4 \\ x^2-5x+4=0 $$
$$ D=25-16=9 $$
$$ x=\frac{5\pm 3}{2} $$
$$x_1=1,\quad x_2=4$$
Тогда
$$y_1=5-1=4,\quad y_2=5-4=1$$
Получаем точки: $$(1;4)$$ и $$(4;1)$$.
3) $$\begin{cases} y-x=2, \\ x^2-2xy=3. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=x+2$$
Подставим во второе:
$$ x^2-2x(x+2)=3 \\ x^2-2x^2-4x=3 \\ x^2+4x+3=0 $$
$$ D=16-12=4 $$
$$ x=\frac{-4\pm 2}{2} $$
$$x_1=-3,\quad x_2=-1$$
Тогда
$$y_1=-3+2=-1,\quad y_2=-1+2=1$$
Получаем точки: $$(-3;-1)$$ и $$(-1;1)$$.
4) $$\begin{cases} x-4y=2, \\ xy+2y=8. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=2+4y$$
Подставим во второе:
$$ (2+4y)y+2y=8 \\ 4y^2+4y-8=0 \\ y^2+y-2=0 $$
$$ D=1+8=9 $$
$$ y=\frac{-1\pm 3}{2} $$
$$y_1=1,\quad y_2=-2$$
Тогда
$$x_1=2+4\cdot 1=6,\quad x_2=2+4\cdot(-2)=-6$$
Получаем точки: $$(6;1)$$ и $$(-6;-2)$$.
5) $$\begin{cases} xy=15, \\ 2x-y=7. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=2x-7$$
Подставим в первое:
$$ x(2x-7)=15 \\ 2x^2-7x-15=0 $$
$$ D=49+120=169 $$
$$ x=\frac{7\pm 13}{4} $$
$$x_1=5,\quad x_2=-\frac{3}{2}$$
Тогда
$$y_1=2\cdot 5-7=3,\quad y_2=2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)-7=-10$$
Получаем точки: $$(5;3)$$ и $$\left(-\frac{3}{2};-10\right)$$.
6) $$\begin{cases} x-y=4, \\ x^2+y^2=8. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=x-4$$
Подставим во второе:
$$ x^2+(x-4)^2=8 \\ x^2+x^2-8x+16=8 \\ 2x^2-8x+8=0 \\ x^2-4x+4=0 \\ (x-2)^2=0 $$
$$x=2$$
Тогда
$$y=2-4=-2$$
Получаем единственное решение: $$(2;-2)$$.
Ответ
1) Парабола с ветвями вверх, не пересекает ось $$Ox$$, вершина при $$x<0$$.
2) Парабола с ветвями вниз, пересекает ось $$Ox$$ в двух точках, вершина при $$x>0$$, $$f(0)<0$$.
3) Парабола с ветвями вниз, касается оси $$Ox$$, вершина при $$x<0$$.
4) $$(-3;0),\ (5;8)$$.
5) $$(1;4),\ (4;1)$$.
6) $$(-3;-1),\ (-1;1)$$.
7) $$(6;1),\ (-6;-2)$$.
8) $$\left(-\frac{3}{2};-10\right),\ (5;3)$$.
9) $$(2;-2)$$.
