Упр.450 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Изобразите схематически график квадратичной функции у = аx^2 + bх + с, если:
1) а > 0, D > 0, с > 0, -b/2a > 0;
2) а > 0, D = 0, -b/2a < 0;
3) а < 0, D < 0, -b/2a > 0;
4) а < 0, с = 0, -b/2a < 0. Решите графически систему уравнений:
1) система
у = х + 2,
ху = 8;
$$a>0$$, значит ветви параболы направлены вверх.
$$D>0$$, значит график пересекает ось $$Ox$$ в двух точках.
$$c>0$$, значит точка пересечения с осью $$Oy$$ лежит выше оси $$Ox$$.
$$-\frac{b}{2a}>0$$, значит абсцисса вершины положительна, то есть вершина расположена справа от оси $$Oy$$.
$$a>0$$, значит ветви параболы направлены вверх.
$$D=0$$, значит парабола касается оси $$Ox$$.
$$-\frac{b}{2a}<0$$, значит вершина расположена слева от оси $$Oy$$.
$$a<0$$, значит ветви параболы направлены вниз.
$$D<0$$, значит график не пересекает ось $$Ox$$.
$$-\frac{b}{2a}>0$$, значит вершина расположена справа от оси $$Oy$$.
$$a<0$$, значит ветви параболы направлены вниз.
$$c=0$$, значит график проходит через начало координат: $$f(0)=0$$.
$$-\frac{b}{2a}<0$$, значит вершина расположена слева от оси $$Oy$$.
Графически решим системы уравнений.
$$ \begin{cases} y=x+2,\\ xy=8 \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем $$y=\frac{8}{x}$$. Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению
$$x+2=\frac{8}{x}$$
$$x^2+2x-8=0$$
$$ (x+4)(x-2)=0 $$
$$x=-4$$ или $$x=2$$.
Тогда $$y=-4+2=-2$$ и $$y=2+2=4$$.
$$ \begin{cases} y=x^2-4,\\ 2x+y=-1 \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем $$y=-2x-1$$. Тогда
$$x^2-4=-2x-1$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$ (x+3)(x-1)=0 $$
$$x=-3$$ или $$x=1$$.
Тогда $$y=5$$ и $$y=-3$$.
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ x^2+y^2=9 \end{cases} $$
Из первого уравнения $$y=3-x$$. Подставим во второе:
$$x^2+(3-x)^2=9$$
$$x^2+9-6x+x^2=9$$
$$2x^2-6x=0$$
$$2x(x-3)=0$$
$$x=0$$ или $$x=3$$.
Тогда $$y=3$$ и $$y=0$$.
Ответ
1) парабола с ветвями вверх, пересекает ось $$Ox$$ в двух точках, ось $$Oy$$ выше оси $$Ox$$, вершина справа от оси $$Oy$$;
2) парабола с ветвями вверх, касается оси $$Ox$$, вершина слева от оси $$Oy$$;
3) парабола с ветвями вниз, не пересекает ось $$Ox$$, вершина справа от оси $$Oy$$;
4) парабола с ветвями вниз, проходит через начало координат, вершина слева от оси $$Oy$$.
Системы: 1) $$(-4;\,-2)$$, $$ (2;\,4)$$; 2) $$(-3;\,5)$$, $$ (1;\,-3)$$; 3) $$ (0;\,3)$$, $$ (3;\,0)$$.
