Упр.450 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Пусть $$D$$ — дискриминант квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$. Изобразите схематически график квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$, если:

1. $$a>0$$, $$D>0$$, $$c>0$$, $$-\frac{b}{2a}>0$$;
2. $$a>0$$, $$D=0$$, $$-\frac{b}{2a}<0$$;
3. $$a<0$$, $$D<0$$, $$-\frac{b}{2a}>0$$;
4. $$a<0$$, $$c=0$$, $$-\frac{b}{2a}<0$$.

Решите графически систему уравнений:

1. $$\begin{cases} y=x+2,\\ xy=8. \end{cases}$$

1. $$a>0$$, значит ветви параболы направлены вверх.

   $$D>0$$, значит график пересекает ось $$Ox$$ в двух точках.

   $$c>0$$, значит точка пересечения с осью $$Oy$$ лежит выше оси $$Ox$$.

   $$-\frac{b}{2a}>0$$, значит абсцисса вершины положительна, то есть вершина расположена справа от оси $$Oy$$.

2. $$a>0$$, значит ветви параболы направлены вверх.

   $$D=0$$, значит парабола касается оси $$Ox$$.

   $$-\frac{b}{2a}<0$$, значит вершина расположена слева от оси $$Oy$$.

3. $$a<0$$, значит ветви параболы направлены вниз.

   $$D<0$$, значит график не пересекает ось $$Ox$$.

   $$-\frac{b}{2a}>0$$, значит вершина расположена справа от оси $$Oy$$.

4. $$a<0$$, значит ветви параболы направлены вниз.

   $$c=0$$, значит график проходит через начало координат: $$f(0)=0$$.

   $$-\frac{b}{2a}<0$$, значит вершина расположена слева от оси $$Oy$$.

Графически решим системы уравнений.

1. $$\begin{cases} y=x+2,\\ xy=8 \end{cases}$$

   Из второго уравнения получаем $$y=\frac{8}{x}$$. Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению

   $$x+2=\frac{8}{x}$$

   $$x^2+2x-8=0$$

   $$(x+4)(x-2)=0$$

   $$x=-4$$ или $$x=2$$.

   Тогда $$y=-4+2=-2$$ и $$y=2+2=4$$.

2. $$\begin{cases} y=x^2-4,\\ 2x+y=-1 \end{cases}$$

   Из второго уравнения получаем $$y=-2x-1$$. Тогда

   $$x^2-4=-2x-1$$

   $$x^2+2x-3=0$$

   $$(x+3)(x-1)=0$$

   $$x=-3$$ или $$x=1$$.

   Тогда $$y=5$$ и $$y=-3$$.

3. $$\begin{cases} x+y=3,\\ x^2+y^2=9 \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$y=3-x$$. Подставим во второе:

   $$x^2+(3-x)^2=9$$

   $$x^2+9-6x+x^2=9$$

   $$2x^2-6x=0$$

   $$2x(x-3)=0$$

   $$x=0$$ или $$x=3$$.

   Тогда $$y=3$$ и $$y=0$$.

Ответ

1) парабола с ветвями вверх, пересекает ось $$Ox$$ в двух точках, ось $$Oy$$ выше оси $$Ox$$, вершина справа от оси $$Oy$$;
2) парабола с ветвями вверх, касается оси $$Ox$$, вершина слева от оси $$Oy$$;
3) парабола с ветвями вниз, не пересекает ось $$Ox$$, вершина справа от оси $$Oy$$;
4) парабола с ветвями вниз, проходит через начало координат, вершина слева от оси $$Oy$$.

Системы: 1) $$(-4;\,-2)$$, $$(2;\,4)$$; 2) $$(-3;\,5)$$, $$(1;\,-3)$$; 3) $$(0;\,3)$$, $$(3;\,0)$$.