Упр.445 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее значение функции $$y=3x^2-18x+2$$ на промежутке: 1) $$[-1;4]$$; 2) $$[-4;1]$$; 3) $$[4;5]$$.
- Постройте график уравнения: 1) $$4x+y=3$$; 2) $$2x-3y=6$$; 3) $$xy=-8$$; 4) $$(x-2)^2+y^2=0$$; 5) $$(x-2)^2+(y+1)^2=9$$; 6) $$x^2+y^2=4$$; 7) $$x^2+2x+y^2-6y+10=0$$; 8) $$(x-3)(y-x)=0$$; 9) $$\frac{y-x}{y^2-1}=0$$.
1) $$y=3x^2-18x+2$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-18}{2\cdot 3}=3$$
$$y_0=3\cdot 3^2-18\cdot 3+2=27-54+2=-25$$
Так как $$a=3>0,$$ ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение на промежутке достигается либо в вершине, либо на концах отрезка.
$$y(-1)=3\cdot (-1)^2-18\cdot (-1)+2=3+18+2=23$$
$$y(4)=3\cdot 4^2-18\cdot 4+2=48-72+2=-22$$
Наименьшее значение на $$[-1;4]$$ равно $$-25$$.
2) На промежутке $$[-4;1]$$ вершина $$x_0=3$$ не принадлежит отрезку, а функция убывает на всём промежутке, поэтому минимум достигается в правом конце:
$$y(1)=3\cdot 1^2-18\cdot 1+2=3-18+2=-13$$
3) На промежутке $$[4;5]$$ функция возрастает, поэтому минимум достигается в левом конце:
$$y(4)=3\cdot 4^2-18\cdot 4+2=48-72+2=-22$$
2) Построим графики уравнений.
1. $$4x+y=3 \Rightarrow y=3-4x$$ — прямая.
2. $$2x-3y=6 \Rightarrow y=\frac{2}{3}x-2$$ — прямая.
3. $$xy=-8 \Rightarrow y=-\frac{8}{x}$$, $$x\ne 0$$ — гипербола.
4. $$\left(x-2\right)^2+y^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю:
$$x-2=0,\quad y=0$$
Значит, это точка $$\left(2;0\right)$$.
5. $$\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=9$$ — окружность с центром $$\left(2;-1\right)$$ и радиусом $$3$$.
6. $$x^2+y^2=4$$ — окружность с центром $$\left(0;0\right)$$ и радиусом $$2$$.
7. $$x^2+2x+y^2-6y+10=0$$
$$x^2+2x+1+y^2-6y+9=0$$
$$\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=0$$
Значит, это точка $$\left(-1;3\right)$$.
8. $$\left(x-3\right)\left(y-x\right)=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$x-3=0 \quad \text{или} \quad y-x=0$$
То есть график состоит из прямых $$x=3$$ и $$y=x$$.
9. $$\frac{y-x}{y^2-1}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$y-x=0,\quad y^2-1\ne 0$$
$$y=x,\quad y\ne \pm 1$$
График — прямая $$y=x$$ с выколотыми точками при $$y=1$$ и $$y=-1$$, то есть в точках $$\left(1;1\right)$$ и $$\left(-1;-1\right)$$.
Ответ
1) $$-25$$; 2) $$-13$$; 3) $$-22$$.
Графики: 1) прямая $$y=3-4x$$; 2) прямая $$y=\frac{2}{3}x-2$$; 3) гипербола $$y=-\frac{8}{x}$$; 4) точка $$\left(2;0\right)$$; 5) окружность с центром $$\left(2;-1\right)$$ и радиусом $$3$$; 6) окружность с центром $$\left(0;0\right)$$ и радиусом $$2$$; 7) точка $$\left(-1;3\right)$$; 8) прямые $$x=3$$ и $$y=x$$; 9) прямая $$y=x$$, $$y\ne \pm 1$$.
