Упр.443 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

у =
система
х, если х <= 0, 4х - х^2, если 0 < х < 5, х - 10, если х >= 5. Является ли пара чисел (2; -3) решением уравнения:
1) 4х — Зy = 17;
2) х^2 + 5 = y^2;
3) ху = 6?

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} x, & \text{если } x \le 0,\\ 4x-x^2, & \text{если } 0<x<5,\\ x-10, & \text{если } x \ge 5. \end{cases} $$

Построим её по частям.

• При $$x \le 0$$ график — прямая $$y=x$$.
• При $$0<x<5$$ график — парабола $$y=4x-x^2$$, ветви направлены вниз. Её вершина: $$x=\frac{4}{2}=2,$$ $$y=4\cdot 2-2^2=4,$$ то есть точка $$ (2;4). $$
• При $$x \ge 5$$ график — прямая $$y=x-10$$.

В точке $$x=0$$ значение функции равно $$0$$, а в точке $$x=5$$ значение равно $$-5$$.

Найдём область значений. На первом и третьем промежутках функция принимает все значения от $$-\infty$$ до $$0$$ и от $$-5$$ до $$+\infty$$, а на параболе — значения от $$-\infty$$ до $$4$$. Значит, вместе получаем:

$$ E(y)=(-\infty;+\infty). $$

Теперь проверим пару чисел $$ (2;-3). $$

1. $$ 4x-3y=17 $$
   $$ 4\cdot 2-3\cdot(-3)=8+9=17. $$
   Пара чисел подходит.

2. $$ x^2+5=y^2 $$
   $$ 2^2+5=(-3)^2 $$
   $$ 4+5=9. $$
   Пара чисел подходит.

3. $$ xy=6 $$
   $$ 2\cdot(-3)=-6 \ne 6. $$
   Пара чисел не подходит.

Ответ: $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$; функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;5]$$, убывает на $$[2;5]$$; пара $$ (2;-3) $$ является решением уравнений 1) и 2), не является решением уравнения 3).