Упр.438 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2026 года. Найдите координаты точки параболы $$y=-x^2+9x+9$$, у которой: 1) абсцисса и ордината равны; 2) сумма абсциссы и ординаты равна 25.
- Задание учебника 2021 года. Для каждого значения $$a$$ решите систему неравенств: 1) $$\begin{cases}x^2-x-72<0,\\x>a;\end{cases}$$ 2) $$\begin{cases}x^2-9x+8>0,\\x
Если абсцисса и ордината равны, то $$x=y.$$ Подставим в уравнение параболы:
$$x=-x^2+9x+9$$
$$x^2-8x-9=0$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$
$$x_1=9,\quad x_2=-1$$
Тогда $$y_1=9,\quad y_2=-1.$$
Получаем точки: $$(-1;\,-1),\ (9;\,9).$$
Если сумма абсциссы и ординаты равна 25, то $$x+y=25,$$ значит $$y=25-x.$$ Подставим в уравнение параболы:
$$25-x=-x^2+9x+9$$
$$x^2-10x+16=0$$
$$D=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 16=100-64=36$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}$$
$$x_1=8,\quad x_2=2$$
Тогда
$$y_1=25-8=17,\quad y_2=25-2=23.$$
Получаем точки: $$(8;\,17),\ (2;\,23).$$
Решим систему $$\begin{cases}x^2-x-72<0,\\ x>a.\end{cases}$$
$$x^2-x-72=(x-9)(x+8)$$
$$-8<x<9.$$
Пересекаем с условием $$x>a$$:
если $$a\le -8,$$ то $$-8<x<9;$$
если $$-8<a<9,$$ то $$a<x<9;$$
если $$a\ge 9,$$ то решений нет.
Решим систему $$\begin{cases}x^2-9x+8>0,\\ x<a.\end{cases}$$
$$x^2-9x+8=(x-1)(x-8)$$
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>8.$$
Пересекаем с условием $$x<a$$:
если $$a\le 1,$$ то решений нет;
если $$1<a\le 8,$$ то $$x<a;$$
если $$a>8,$$ то $$x<1$$ или $$8<x<a.$$
Ответ
1) $$(-1;\,-1),\ (9;\,9)$$; 2) $$(2;\,23),\ (8;\,17)$$; 3) если $$a\le -8,$$ то $$-8<x<9$$; если $$-8<a<9,$$ то $$a<x<9$$; если $$a\ge 9,$$ то решений нет; 4) если $$a\le 1,$$ то решений нет; если $$1<a\le 8,$$ то $$x<a$$; если $$a>8,$$ то $$x<1$$ или $$8<x<a$$.
