Упр.436 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

у = g(х) и определите количество корней уравнения f(х) = g(х):
1) f(x) = -х^2 + 6х — 7; g(x) = -корень(x);
2) f(x) = 4х — 2х^2; g(x) = — 4/x. При каких значениях а не имеет решений неравенство:
1) -х^2 + 6х — а > 0;
2) х^2 — (а + 1)х + 3а — 5 < 0; 3) ах^2 + (а - 1)х + (а - 1) < 0?

Подробный ответ

1) $$f(x)=-x^2+6x-7,\quad g(x)=-\sqrt{x}.$$
Найдём точки пересечения графиков. Для параболы $$y=-x^2+6x-7$$ вершина имеет абсциссу
$$x_0=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=3,$$
а ордината вершины равна
$$y_0=-3^2+6\cdot 3-7=2.$$
По графику видно, что прямая $$y=-\sqrt{x}$$ пересекает параболу в двух точках, значит уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет 2 корня.
2) $$f(x)=4x-2x^2,\quad g(x)=-\frac{4}{x}.$$
Парабола $$y=4x-2x^2$$ имеет вершину
$$x_0=\frac{-4}{2\cdot(-2)}=1,\qquad y_0=4\cdot 1-2\cdot 1^2=2.$$
Графики пересекаются в одной точке, значит уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет 1 корень.
1) $$-x^2+6x-a>0.$$
Чтобы неравенство не имело решений, квадратный трёхчлен должен быть не положителен при всех $$x$$:
$$D=6^2-4\cdot(-1)\cdot(-a)=36-4a\le 0.$$
Отсюда
$$a\ge 9.$$
2) $$x^2-(a+1)x+3a-5<0.$$
Неравенство не имеет решений, если дискриминант неотрицателен и ветви параболы направлены вверх:
$$D=(a+1)^2-4(3a-5)\le 0,$$
$$a^2+2a+1-12a+20\le 0,$$
$$a^2-10a+21\le 0,$$
$$ (a-3)(a-7)\le 0.$$
Следовательно,
$$3\le a\le 7.$$
3) $$ax^2+(a-1)x+(a-1)<0.$$
Чтобы неравенство не имело решений, достаточно, чтобы при $$a>0$$ квадратный трёхчлен был неотрицателен при всех $$x$$:
$$D=(a-1)^2-4a(a-1)\le 0,$$
$$a^2-2a+1-4a^2+4a\le 0,$$
$$3a^2-2a-1\ge 0,$$
$$ (3a+1)(a-1)\ge 0.$$
С учётом условия $$a>0$$ получаем
$$a\ge 1.$$