Упр.436 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Постройте в одной системе координат графики функций $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ и определите количество корней уравнения $$f(x)=g(x)$$:
   
   1) $$f(x)=-x^2+6x-7$$; $$g(x)=-\sqrt{x}$$;
   
   2) $$f(x)=4x-2x^2$$; $$g(x)=-\frac{4}{x}$$.
2. При каких значениях $$a$$ не имеет решений неравенство:
   
   1) $$-x^2+6x-a>0$$;
   
   2) $$x^2-(a+1)x+3a-5<0$$;
   3) $$ax^2+(a-1)x+(a-1)<0$$?

1. 1) $$f(x)=-x^2+6x-7,\quad g(x)=-\sqrt{x}.$$

   Найдём точки пересечения графиков. Для параболы $$y=-x^2+6x-7$$ вершина имеет абсциссу

   $$x_0=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=3,$$

   а ордината вершины равна

   $$y_0=-3^2+6\cdot 3-7=2.$$

   По графику видно, что прямая $$y=-\sqrt{x}$$ пересекает параболу в двух точках, значит уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет 2 корня.

   2) $$f(x)=4x-2x^2,\quad g(x)=-\frac{4}{x}.$$

   Парабола $$y=4x-2x^2$$ имеет вершину

   $$x_0=\frac{-4}{2\cdot(-2)}=1,\qquad y_0=4\cdot 1-2\cdot 1^2=2.$$

   Графики пересекаются в одной точке, значит уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет 1 корень.

2. 1) $$-x^2+6x-a>0.$$

   Чтобы неравенство не имело решений, квадратный трёхчлен должен быть не положителен при всех $$x$$:

   $$D=6^2-4\cdot(-1)\cdot(-a)=36-4a\le 0.$$

   Отсюда

   $$a\ge 9.$$

   2) $$x^2-(a+1)x+3a-5<0.$$

   Неравенство не имеет решений, если дискриминант неотрицателен и ветви параболы направлены вверх:

   $$D=(a+1)^2-4(3a-5)\le 0,$$

   $$a^2+2a+1-12a+20\le 0,$$

   $$a^2-10a+21\le 0,$$

   $$(a-3)(a-7)\le 0.$$

   Следовательно,

   $$3\le a\le 7.$$

   3) $$ax^2+(a-1)x+(a-1)<0.$$

   Чтобы неравенство не имело решений, достаточно, чтобы при $$a>0$$ квадратный трёхчлен был неотрицателен при всех $$x$$:

   $$D=(a-1)^2-4a(a-1)\le 0,$$

   $$a^2-2a+1-4a^2+4a\le 0,$$

   $$3a^2-2a-1\ge 0,$$

   $$(3a+1)(a-1)\ge 0.$$

   С учётом условия $$a>0$$ получаем

   $$a\ge 1.$$

Ответ

1) 2 корня; 2) 1 корень; 1) $$a\in[9;+\infty)$$; 2) $$a\in[3;7]$$; 3) $$a\in[1;+\infty)$$.