Упр.435 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) х^2 — 4х + а > 0;
2) х^2 + (а — 1)х + 1 — а — а^2 >= 0;
3) -1/4 x^2 + 5ах — 9а^2 — 8а < 0;
4) (а - 1)х^2 - (а + 1)х + а + 1 > 0?
1) Решим уравнение графически:
$$-\frac14x^2+x+2=\sqrt{x}.$$
Рассмотрим графики функций
$$y=-\frac14x^2+x+2 \quad \text{и} \quad y=\sqrt{x}.$$
Точка их пересечения одна: $$x=4.$$
2) Найдём значения параметра $$a$$, при которых неравенство выполняется при всех действительных $$x$$.
1) $$x^2-4x+a>0.$$
Чтобы квадратный трёхчлен был положительным при всех $$x$$, нужно, чтобы его ветви были направлены вверх и дискриминант был отрицателен:
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot a<0,$$
$$16-4a<0,$$
$$a>4.$$
2) $$x^2+(a-1)x+1-a-a^2\ge 0.$$
Для выполнения неравенства при всех $$x$$ необходимо, чтобы дискриминант был неположительным:
$$D=(a-1)^2-4(1-a-a^2)\le 0,$$
$$a^2-2a+1-4+4a+4a^2\le 0,$$
$$5a^2+2a-3\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=2^2-4\cdot 5\cdot(-3)=64,$$
$$a_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{10},$$
$$a_1=-1,\quad a_2=\frac35.$$
Тогда
$$a\in\left[-1;\frac35\right].$$
3) $$-\frac14x^2+5ax-9a^2-8a<0.$$
Чтобы неравенство выполнялось при всех $$x$$, парабола должна не пересекать ось абсцисс, то есть дискриминант должен быть отрицательным:
$$D=(5a)^2-4\cdot\left(-\frac14\right)\cdot(-9a^2-8a)<0,$$
$$25a^2-9a^2-8a<0,$$
$$16a^2-8a<0,$$
$$8a(2a-1)<0.$$
Отсюда
$$a\in\left(0;\frac12\right).$$
4) $$(a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0.$$
Для выполнения неравенства при всех $$x$$ нужно, чтобы квадратный трёхчлен был положительным при всех $$x$$. Тогда
$$D=(a+1)^2-4(a-1)(a+1)<0,$$
$$a^2+2a+1-4a^2+4<0,$$
$$3a^2-2a-5>0.$$
Найдём корни:
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64,$$
$$a_{1,2}=\frac{2\pm 8}{6},$$
$$a_1=-1,\quad a_2=\frac53.$$
Так как коэффициент при $$a^2$$ положительный, получаем
$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>\frac53.$$
Ответ
$$x=4;$$
1) $$a>4$$;
2) $$a\in\left[-1;\frac35\right]$$;
3) $$a\in\left(0;\frac12\right)$$;
4) $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac53;+\infty\right).$$
