Упр.434 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите графически уравнение $$x^2-3x-1=-\frac{3}{x}$$.
2. Решите неравенство:
   
   1) $$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}>0$$;
   
   2) $$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}\geq 0$$;
   
   3) $$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}<0$$;
   4) $$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}\leq 0$$.

Рассмотрим выражение $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}.$$

Сначала найдём область определения корня:

$$14+5x-x^2\ge 0$$

$$x^2-5x-14\le 0$$

$$\left(x+2\right)\left(x-7\right)\le 0$$

Отсюда

$$x\in[-2;7].$$

Так как $$\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0,$$ знак произведения определяется знаком множителя $$x-3$$, а в точках $$x=-2,\;3,\;7$$ выражение равно нулю.

1. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}>0$$

   Нужно, чтобы $$x-3>0$$ и $$x\in[-2;7].$$ Тогда

   $$x\in(3;7].$$

2. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0$$

   Это выполняется при $$x\ge 3$$ на области определения, значит

   $$x\in[3;7].$$

3. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}<0$$

   Нужно, чтобы $$x-3<0$$ и $$x\in[-2;7].$$ Тогда

   $$x\in[-2;3).$$

4. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\le 0$$

   Это выполняется при $$x\le 3$$ на области определения, значит

   $$x\in[-2;3].$$

Ответ

1) $$x\in(3;7]$$; 2) $$x\in[3;7]$$; 3) $$x\in[-2;3)$$; 4) $$x\in[-2;3]$$.