Упр.433 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) область значений функции;
2) промежуток убывания функции;
3) при каких значениях х выполняется неравенство f(х) >= 0.
Решите неравенство:
1) (х + 4)корень(х^2 — 2х — 15) > 0;
2) (х + 4)корень(x^2 — 2х — 15) >= 0;
3) (х + 4)корень(x^2 — 2х — 15) < 0;
4) (х + 4)корень(x^2 - 2х - 15) <= 0.
1) Для функции $$f(x)=3x^2-6x$$ найдём вершину параболы:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot 3}=1,$$
$$y_0=f(1)=3\cdot 1^2-6\cdot 1=-3.$$
Так как $$a=3>0,$$ ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение функции равно $$-3.$$
Отсюда:
$$E(f)=[-3;+\infty),$$
функция убывает на промежутке $$(-\infty;1],$$
а неравенство $$f(x)\ge 0$$ выполняется при $$x\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$
2) Решим неравенства.
1. $$\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x-15}>0$$
ОДЗ: $$x^2-2x-15\ge 0,$$ то есть
$$\left(x-5\right)\left(x+3\right)\ge 0,$$
откуда
$$x\in(-\infty;-3]\cup[5;+\infty).$$
Чтобы произведение было положительным, нужно, чтобы корень был положительным и $$x+4>0.$$ Тогда
$$x^2-2x-15>0,\qquad x>-4.$$
Из неравенства $$\left(x-5\right)\left(x+3\right)>0$$ получаем
$$x\in(-\infty;-3)\cup(5;+\infty).$$
Пересекаем с условием $$x>-4$$:
$$x\in(-4;-3)\cup(5;+\infty).$$
2. $$\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x-15}\ge 0$$
Если корень равен нулю, то произведение равно нулю. Если корень положителен, то нужно $$x+4\ge 0.$$ Поэтому
$$x^2-2x-15\ge 0,\qquad x\ge -4.$$
Тогда
$$x\in(-\infty;-3]\cup[5;+\infty),$$
и с учётом $$x\ge -4$$ получаем
$$x\in[-4;-3]\cup[5;+\infty).$$
3. $$\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x-15}<0$$
Корень должен быть положительным, а $$x+4<0.$$ Значит
$$x^2-2x-15>0,\qquad x<-4.$$
Из условия $$\left(x-5\right)\left(x+3\right)>0$$ имеем
$$x\in(-\infty;-3)\cup(5;+\infty).$$
Пересечение с $$x<-4$$ даёт
$$x\in(-\infty;-4).$$
4. $$\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x-15}\le 0$$
Либо корень равен нулю, либо корень положителен и $$x+4\le 0.$$ Тогда
$$x^2-2x-15\ge 0,\qquad x\le -4.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-4]\cup[-3;5].$$
Ответ
1) $$E(f)=[-3;+\infty),\quad (-\infty;1],\quad (-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$
2) $$(-4;-3)\cup(5;+\infty);$$ $$[-4;-3]\cup[5;+\infty);$$ $$(-\infty;-4);$$ $$(-\infty;-4]\cup[-3;5].$$
