Упр.432 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Постройте график функции $$f(x)=x-0{,}5x^2$$. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания функции;
3) при каких значениях $$x$$ выполняется неравенство $$f(x)\leq 0$$. - Решите неравенство:
1) $$|x|\cdot(x^2-5x+6)>0$$;
2) $$\sqrt{x}(x^2+6x-40)>0$$;
3) $$(x+3)^2(x^2-x-6)>0$$;
4) $$\frac{3x^2-8x-3}{(x-1)^2}\leq 0$$.
1) Построим график функции $$f(x)=x-0{,}5x^2.$$ Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot(-0{,}5)}=1,$$
$$f(1)=1-0{,}5=0{,}5.$$
Значит, наибольшее значение функции равно $$0{,}5,$$ а область значений:
$$E(f)=(-\infty;\,0{,}5].$$
Функция возрастает до вершины, то есть при
$$x\in(-\infty;\,1].$$
Неравенство $$f(x)\le 0$$ выполняется там, где график не выше оси $$Ox$$:
$$x\in(-\infty;\,0]\cup[2;\,+\infty).$$
2) Решим неравенства.
$$|x|\,(x^2-5x+6)>0.$$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
Тогда произведение положительно, если оба множителя неотрицательны и хотя бы один из них положителен. Учитывая, что $$|x|=0$$ при $$x=0,$$ получаем:
$$x\in(-\infty;\,0)\cup(0;\,2)\cup(3;\,+\infty).$$
$$\sqrt{x}\,(x^2+6x-40)>0.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то для строгого неравенства нужно:
$$x>0,\qquad x^2+6x-40>0.$$
Разложим на множители:
$$x^2+6x-40=(x+10)(x-4).$$
Тогда при $$x\ge 0$$ имеем $$x+10>0,$$ значит нужно $$x-4>0.$$
Следовательно,
$$x\in(4;\,+\infty).$$
$$(x+3)^2(x^2-x-6)>0.$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$
Так как $$(x+3)^2\ge 0,$$ то для строгого неравенства нужно $$x\ne -3$$ и
$$(x-3)(x+2)>0.$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,-2)\cup(3;\,+\infty).$$
$$\frac{3x^2-8x-3}{(x-1)^2}\le 0.$$
Область определения: $$x\ne 1.$$
Так как $$(x-1)^2>0$$ при $$x\ne 1,$$ то знак дроби определяется числителем:
$$3x^2-8x-3\le 0.$$
Разложим на множители:
$$3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3).$$
Решаем неравенство:
$$x\in\left[-\frac13;\,3\right].$$
Исключаем точку $$x=1,$$ так как она не входит в область определения.
Итак,
$$x\in\left[-\frac13;\,1\right)\cup(1;\,3].$$
Ответ
1) $$E(f)=(-\infty;\,0{,}5],\quad x\in(-\infty;\,1],\quad f(x)\le 0 \text{ при } x\in(-\infty;\,0]\cup[2;\,+\infty).$$
2) $$(-\infty;\,0)\cup(0;\,2)\cup(3;\,+\infty);$$ $$(4;\,+\infty);$$ $$(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,-2)\cup(3;\,+\infty);$$ $$\left[-\frac13;\,1\right)\cup(1;\,3].$$
