Упр.431 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$f(x)=-x^2-6x-5$$. Используя график, найдите: 1) область значений функции; 2) промежуток возрастания функции; 3) множество решений неравенства $$f(x)>0$$.
2. Решите неравенство: 1) $$|x|(x^2+3x-10)<0$$; 2) $$\sqrt{x}(x^2+2x-8)\leq 0$$; 3) $$(x-2)^2(x^2-8x-9)<0$$; 4) $$(x+5)^2(x^2-2x-15)>0$$; 5) $$\frac{x^2+7x-8}{(x-4)^2}\geq 0$$; 6) $$\frac{x^2+10x-11}{(x+3)^2}\leq 0$$.

1) $$f(x)=-x^2-6x-5=-(x^2+6x+9)+4=-(x+3)^2+4.$$

Парабола направлена ветвями вниз, вершина имеет координаты $$(-3;4).$$

Отсюда:

$$E(f)=(-\infty;4],$$

функция возрастает на $$(-\infty;-3],$$

а неравенство $$f(x)>0$$ равносильно

$$-(x+3)^2+4>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (x+3)^2<4 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -5<x<-1.$$

2) $$|x|\,(x^2+3x-10)<0.$$

Так как $$|x|\ge 0,$$ то произведение отрицательно только при $$|x|>0$$ и $$x^2+3x-10<0.$$

Разложим на множители:

$$x^2+3x-10=(x+5)(x-2).$$

Тогда

$$-5<x<2,\quad x\ne 0.$$

Следовательно,

$$x\in(-5;0)\cup(0;2).$$

3) $$\sqrt{x}\,(x^2+2x-8)\le 0.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

При $$x\ge 0$$ имеем $$\sqrt{x}\ge 0,$$ значит произведение не положительно, когда

$$x^2+2x-8\le 0.$$

Разложим:

$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$

Тогда с учётом $$x\ge 0$$ получаем

$$x\in[0;2].$$

4) $$(x-2)^2(x^2-8x-9)<0.$$

Так как $$(x-2)^2\ge 0,$$ то для отрицательного произведения нужно

$$x\ne 2,\quad x^2-8x-9<0.$$

Разложим:

$$x^2-8x-9=(x-9)(x+1).$$

Тогда

$$-1<x<9,\quad x\ne 2.$$

Следовательно,

$$x\in(-1;2)\cup(2;9).$$

5) $$(x+5)^2(x^2-2x-15)>0.$$

Так как $$(x+5)^2\ge 0,$$ то нужно

$$x\ne -5,\quad x^2-2x-15>0.$$

Разложим:

$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3).$$

Тогда

$$x<-3 \;\;\text{или}\;\; x>5,\quad x\ne -5.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;-3)\cup(5;+\infty).$$

6) $$\dfrac{x^2+7x-8}{(x-4)^2}\ge 0.$$

Область определения: $$x\ne 4.$$

Так как $$(x-4)^2>0$$ при $$x\ne 4,$$ то достаточно решить

$$x^2+7x-8\ge 0.$$

Разложим:

$$x^2+7x-8=(x+8)(x-1).$$

Тогда

$$x\le -8 \;\;\text{или}\;\; x\ge 1,\quad x\ne 4.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-8]\cup[1;4)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

1) $$E(f)=(-\infty;4],\quad \text{возрастает на }(-\infty;-3],\quad f(x)>0 \text{ при } x\in(-5;-1).$$

2) $$(-5;0)\cup(0;2).$$

3) $$[0;2].$$

4) $$(-1;2)\cup(2;9).$$

5) $$(-\infty;-5)\cup(-5;-3)\cup(5;+\infty).$$

6) $$(-\infty;-8]\cup[1;4)\cup(4;+\infty).$$