Упр.431 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания функции;
3) множество решений неравенства f(х) > 0. Решите неравенство:
1) |х| * (х^2 + Зх — 10) < 0;
2) корень(x)(x^2 + 2х - 8) <= 0;
3) (х - 2)^2 (х^2 - 8х - 9) < 0;
4) (х + 5)^2 (х^2 - 2х - 15) > 0;
5) (х^2 + 7х — 8)/(х — 4)^2 >= 0;
6) (х^2 + 10х — 11)/(х + З)^2 <= 0.
1) $$f(x)=-x^2-6x-5=-(x^2+6x+9)+4=-(x+3)^2+4.$$
Парабола направлена ветвями вниз, вершина имеет координаты $$(-3;4).$$
Отсюда:
$$E(f)=(-\infty;4],$$
функция возрастает на $$(-\infty;-3],$$
а неравенство $$f(x)>0$$ равносильно
$$-(x+3)^2+4>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (x+3)^2<4 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -5<x<-1.$$
2) $$|x|\,(x^2+3x-10)<0.$$
Так как $$|x|\ge 0,$$ то произведение отрицательно только при $$|x|>0$$ и $$x^2+3x-10<0.$$
Разложим на множители:
$$x^2+3x-10=(x+5)(x-2).$$
Тогда
$$-5<x<2,\quad x\ne 0.$$
Следовательно,
$$x\in(-5;0)\cup(0;2).$$
3) $$\sqrt{x}\,(x^2+2x-8)\le 0.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$\sqrt{x}\ge 0,$$ значит произведение не положительно, когда
$$x^2+2x-8\le 0.$$
Разложим:
$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$
Тогда с учётом $$x\ge 0$$ получаем
$$x\in[0;2].$$
4) $$(x-2)^2(x^2-8x-9)<0.$$
Так как $$ (x-2)^2\ge 0,$$ то для отрицательного произведения нужно
$$x\ne 2,\quad x^2-8x-9<0.$$
Разложим:
$$x^2-8x-9=(x-9)(x+1).$$
Тогда
$$-1<x<9,\quad x\ne 2.$$
Следовательно,
$$x\in(-1;2)\cup(2;9).$$
5) $$(x+5)^2(x^2-2x-15)>0.$$
Так как $$ (x+5)^2\ge 0,$$ то нужно
$$x\ne -5,\quad x^2-2x-15>0.$$
Разложим:
$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3).$$
Тогда
$$x<-3 \;\;\text{или}\;\; x>5,\quad x\ne -5.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;-3)\cup(5;+\infty).$$
6) $$\dfrac{x^2+7x-8}{(x-4)^2}\ge 0.$$
Область определения: $$x\ne 4.$$
Так как $$ (x-4)^2>0$$ при $$x\ne 4,$$ то достаточно решить
$$x^2+7x-8\ge 0.$$
Разложим:
$$x^2+7x-8=(x+8)(x-1).$$
Тогда
$$x\le -8 \;\;\text{или}\;\; x\ge 1,\quad x\ne 4.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-8]\cup[1;4)\cup(4;+\infty).$$
Ответ
1) $$E(f)=(-\infty;4],\quad \text{возрастает на }(-\infty;-3],\quad f(x)>0 \text{ при } x\in(-5;-1).$$
2) $$(-5;0)\cup(0;2).$$
3) $$[0;2].$$
4) $$(-1;2)\cup(2;9).$$
5) $$(-\infty;-5)\cup(-5;-3)\cup(5;+\infty).$$
6) $$(-\infty;-8]\cup[1;4)\cup(4;+\infty).$$
