Упр.430 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) f(6); f(1);
2) значения х, при которых f(х) = 8; f(х) = -1 ; f(х) = -2;
3) наибольшее и наименьшее значения функции;
4) область значений функции;
5) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
6) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких отрицательные. Найдите множество решений неравенства:
1) 5х^2 — 7|х| + 2 >= 0;
2) х^2 + 10|х| — 24 <= 0.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-6x+8.$$

Приведём её к виду с вершиной параболы:

$$ f(x)=x^2-6x+8=(x-3)^2-1. $$

Значит, вершина параболы — точка $$\,(3;-1)\,$$, ветви направлены вверх. Тогда наименьшее значение функции равно $$-1$$, а наибольшего значения нет.

Найдём некоторые значения функции:

$$ f(6)=6^2-6\cdot 6+8=36-36+8=8, $$

$$ f(1)=1^2-6\cdot 1+8=1-6+8=3. $$

Найдём значения аргумента, при которых функция принимает заданные значения:

$$ f(x)=8 \Rightarrow x^2-6x+8=8 \Rightarrow x^2-6x=0 \Rightarrow x(x-6)=0, $$

откуда $$x=0$$ или $$x=6$$.

$$ f(x)=-1 \Rightarrow x^2-6x+8=-1 \Rightarrow x^2-6x+9=0 \Rightarrow (x-3)^2=0, $$

откуда $$x=3$$.

$$ f(x)=-2 \Rightarrow x^2-6x+8=-2 \Rightarrow x^2-6x+10=0. $$

Дискриминант:

$$ D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4<0, $$

поэтому решений нет.

Так как парабола направлена вверх и вершина находится в точке $$\,(3;-1)\,$$, то функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty)$$.

Из графика и вида параболы получаем:

$$ f(x)>0 \text{ при } x<2 \text{ и } x>4, $$

$$ f(x)<0 \text{ при } 2<x<4. $$

Найдём множество решений неравенств.

1) $$5x^2-7|x|+2\ge 0.$$ Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0$$. Тогда

$$ 5t^2-7t+2\ge 0. $$

$$ D=49-40=9,\quad t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{10}. $$

Получаем $$t_1=\frac25,\; t_2=1$$, значит

$$ (5t-2)(t-1)\ge 0. $$

Отсюда $$t\in[0;\frac25]\cup[1;+\infty)$$, то есть

$$ |x|\in\left[0;\frac25\right]\cup[1;+\infty). $$

Следовательно,

$$ x\in(-\infty;-1]\cup\left[-\frac25;\frac25\right]\cup[1;+\infty). $$

2) $$x^2+10|x|-24\le 0.$$ Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0$$. Тогда

$$ t^2+10t-24\le 0. $$

$$ D=100+96=196,\quad t_{1,2}=\frac{-10\pm 14}{2}. $$

Получаем $$t_1=-12,\; t_2=2$$. С учётом условия $$t\ge 0$$ имеем

$$ 0\le t\le 2. $$

Значит,

$$ |x|\le 2 \Rightarrow x\in[-2;2]. $$

Ответ

1) $$f(6)=8,\; f(1)=3.$$

2) $$f(x)=8$$ при $$x=0$$ и $$x=6$$; $$f(x)=-1$$ при $$x=3$$; $$f(x)=-2$$ — решений нет.

3) Наименьшее значение: $$-1$$; наибольшего значения нет.

4) $$E(f)=[-1;+\infty).$$

5) Убывает на $$(-\infty;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty).$$

6) $$f(x)>0$$ при $$x<2$$ и $$x>4$$; $$f(x)<0$$ при $$2<x<4.$$

7) $$5x^2-7|x|+2\ge 0:\; x\in(-\infty;-1]\cup\left[-\frac25;\frac25\right]\cup[1;+\infty).$$

8) $$x^2+10|x|-24\le 0:\; x\in[-2;2].$$