Упр.430 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Постройте график функции $$f(x)=x^2-6x+8$$. Используя график, найдите:
1) $$f(6)$$; $$f(1)$$;
2) значения $$x$$, при которых $$f(x)=8$$; $$f(x)=-1$$; $$f(x)=-2$$;
3) наибольшее и наименьшее значения функции;
4) область значений функции;
5) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
6) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные. - Найдите множество решений неравенства:
1) $$5x^2-7|x|+2\geqslant0$$;
2) $$x^2+10|x|-24\leqslant0$$.
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-6x+8.$$
Приведём её к виду с вершиной параболы:
$$f(x)=x^2-6x+8=(x-3)^2-1.$$
Значит, вершина параболы — точка $$\,(3;-1)\,$$, ветви направлены вверх. Тогда наименьшее значение функции равно $$-1$$, а наибольшего значения нет.
Найдём некоторые значения функции:
$$f(6)=6^2-6\cdot 6+8=36-36+8=8,$$
$$f(1)=1^2-6\cdot 1+8=1-6+8=3.$$
Найдём значения аргумента, при которых функция принимает заданные значения:
$$f(x)=8 \Rightarrow x^2-6x+8=8 \Rightarrow x^2-6x=0 \Rightarrow x(x-6)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=6$$.
$$f(x)=-1 \Rightarrow x^2-6x+8=-1 \Rightarrow x^2-6x+9=0 \Rightarrow (x-3)^2=0,$$
откуда $$x=3$$.
$$f(x)=-2 \Rightarrow x^2-6x+8=-2 \Rightarrow x^2-6x+10=0.$$
Дискриминант:
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4<0,$$
поэтому решений нет.
Так как парабола направлена вверх и вершина находится в точке $$\,(3;-1)\,$$, то функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty)$$.
Из графика и вида параболы получаем:
$$f(x)>0 \text{ при } x<2 \text{ и } x>4,$$
$$f(x)<0 \text{ при } 2<x<4.$$
Найдём множество решений неравенств.
1) $$5x^2-7|x|+2\ge 0.$$ Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0$$. Тогда
$$5t^2-7t+2\ge 0.$$
$$D=49-40=9,\quad t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{10}.$$
Получаем $$t_1=\frac25,\; t_2=1$$, значит
$$(5t-2)(t-1)\ge 0.$$
Отсюда $$t\in[0;\frac25]\cup[1;+\infty)$$, то есть
$$|x|\in\left[0;\frac25\right]\cup[1;+\infty).$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-1]\cup\left[-\frac25;\frac25\right]\cup[1;+\infty).$$
2) $$x^2+10|x|-24\le 0.$$ Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0$$. Тогда
$$t^2+10t-24\le 0.$$
$$D=100+96=196,\quad t_{1,2}=\frac{-10\pm 14}{2}.$$
Получаем $$t_1=-12,\; t_2=2$$. С учётом условия $$t\ge 0$$ имеем
$$0\le t\le 2.$$
Значит,
$$|x|\le 2 \Rightarrow x\in[-2;2].$$
Ответ
1) $$f(6)=8,\; f(1)=3.$$
2) $$f(x)=8$$ при $$x=0$$ и $$x=6$$; $$f(x)=-1$$ при $$x=3$$; $$f(x)=-2$$ — решений нет.
3) Наименьшее значение: $$-1$$; наибольшего значения нет.
4) $$E(f)=[-1;+\infty).$$
5) Убывает на $$(-\infty;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty).$$
6) $$f(x)>0$$ при $$x<2$$ и $$x>4$$; $$f(x)<0$$ при $$2<x<4.$$
7) $$5x^2-7|x|+2\ge 0:\; x\in(-\infty;-1]\cup\left[-\frac25;\frac25\right]\cup[1;+\infty).$$
8) $$x^2+10|x|-24\le 0:\; x\in[-2;2].$$
