Упр.429 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   1) $$y=x^2+2x-8$$;
   2) $$y=x^2-2x$$;
   3) $$y=-x^2+4x-5$$;
   4) $$y=2x^2-2x-4$$.
2. Найдите множество решений неравенства:
   1) $$x^2-8|x|-33<0$$;
   2) $$8x^2+7|x|-1\geq0$$.

1. $$y=x^2+2x-8$$

   Найдём координаты вершины параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,$$

   $$y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-8=1-2-8=-9.$$

   Вершина: $$(-1;\,-9)$$. Парабола направлена ветвями вверх.

2. $$y=x^2-2x$$

   $$x_0=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1,$$

   $$y_0=1^2-2\cdot 1=-1.$$

   Вершина: $$(1;\,-1)$$, ветви направлены вверх.

3. $$y=-x^2+4x-5$$

   $$x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,$$

   $$y_0=-(2)^2+4\cdot 2-5=-4+8-5=-1.$$

   Вершина: $$(2;\,-1)$$, ветви направлены вниз.

4. $$y=2x^2-2x-4$$

   $$x_0=-\frac{-2}{2\cdot 2}=\frac12,$$

   $$y_0=2\left(\frac12\right)^2-2\cdot\frac12-4=\frac12-1-4=-\frac92.$$

   Вершина: $$\left(\frac12;\,-\frac92\right)$$, ветви направлены вверх.

Теперь решим неравенства.

1) $$x^2-8|x|-33<0$$

Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0$$. Тогда

$$t^2-8t-33<0.$$

Найдём корни:

$$D=64+132=196,$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm 14}{2}.$$

Получаем $$t_1=-3,\; t_2=11.$$

Так как парабола направлена вверх, то

$$-3<t<11.$$

С учётом $$t=|x|\ge 0$$ имеем

$$|x|<11,$$

откуда

$$-11<x<11.$$

2) $$8x^2+7|x|-1\ge 0$$

Положим $$t=|x|,\; t\ge 0$$. Тогда

$$8t^2+7t-1\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=49+32=81,$$

$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{16}.$$

Получаем $$t_1=-1,\; t_2=\frac18.$$

Так как парабола направлена вверх, то

$$t\le -1 \text{ или } t\ge \frac18.$$

С учётом $$t=|x|\ge 0$$ остаётся

$$|x|\ge \frac18,$$

то есть

$$x\le -\frac18 \text{ или } x\ge \frac18.$$

Ответ

1) вершины парабол: $$(-1;\,-9),\ (1;\,-1),\ (2;\,-1),\ \left(\frac12;\,-\frac92\right)$$;

2) $$x\in(-11;\,11),\quad x\in\left(-\infty;\,-\frac18\right]\cup\left[\frac18;\,+\infty\right).$$