Упр.429 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) y = х^2 + 2х — 8;
2) y = х^2 — 2х;
3) y = -х^2 + 4х — 5;
4) y = 2х^2 — 2х — 4. Найдите множество решений неравенства:
1) х^2 — 8|х| — 33 < 0;
2) 8х^2 + 7|х| - 1 >= 0.
$$y=x^2+2x-8$$
Найдём координаты вершины параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,$$
$$y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-8=1-2-8=-9.$$
Вершина: $$(-1;\,-9)$$. Парабола направлена ветвями вверх.
$$y=x^2-2x$$
$$x_0=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1,$$
$$y_0=1^2-2\cdot 1=-1.$$
Вершина: $$ (1;\,-1) $$, ветви направлены вверх.
$$y=-x^2+4x-5$$
$$x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,$$
$$y_0=-(2)^2+4\cdot 2-5=-4+8-5=-1.$$
Вершина: $$ (2;\,-1) $$, ветви направлены вниз.
$$y=2x^2-2x-4$$
$$x_0=-\frac{-2}{2\cdot 2}=\frac12,$$
$$y_0=2\left(\frac12\right)^2-2\cdot\frac12-4=\frac12-1-4=-\frac92.$$
Вершина: $$\left(\frac12;\,-\frac92\right)$$, ветви направлены вверх.
Теперь решим неравенства.
1) $$x^2-8|x|-33<0$$
Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0$$. Тогда
$$t^2-8t-33<0.$$
Найдём корни:
$$D=64+132=196,$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 14}{2}.$$
Получаем $$t_1=-3,\; t_2=11.$$
Так как парабола направлена вверх, то
$$-3<t<11.$$
С учётом $$t=|x|\ge 0$$ имеем
$$|x|<11,$$
откуда
$$-11<x<11.$$
2) $$8x^2+7|x|-1\ge 0$$
Положим $$t=|x|,\; t\ge 0$$. Тогда
$$8t^2+7t-1\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=49+32=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{16}.$$
Получаем $$t_1=-1,\; t_2=\frac18.$$
Так как парабола направлена вверх, то
$$t\le -1 \text{ или } t\ge \frac18.$$
С учётом $$t=|x|\ge 0$$ остаётся
$$|x|\ge \frac18,$$
то есть
$$x\le -\frac18 \text{ или } x\ge \frac18.$$
Ответ
1) вершины парабол: $$(-1;\,-9),\ (1;\,-1),\ (2;\,-1),\ \left(\frac12;\,-\frac92\right)$$;
2) $$x\in(-11;\,11),\quad x\in\left(-\infty;\,-\frac18\right]\cup\left[\frac18;\,+\infty\right).$$
