Упр.422 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) x^2 — ах + 4 = 0;
2) х^2 + (а — 2)х + 25 = 0;
3) 4,5x^2 — (4а + b)х + 3а = 0?

Докажем неравенство:

$$a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^3-a^2b+b^3-ab^2=a^2(a-b)+b^2(b-a).$$

Вынесем общий множитель:

$$a^2(a-b)+b^2(b-a)=(a^2-b^2)(a-b).$$

Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то

$$ (a^2-b^2)(a-b)=(a-b)^2(a+b). $$

При $$a>0$$ и $$b>0$$ имеем $$a+b>0,$$ а $$ (a-b)^2\ge 0 $$ при любых $$a$$ и $$b$$. Значит,

$$ (a-b)^2(a+b)\ge 0. $$

Следовательно,

$$a^3+b^3\ge a^2b+ab^2.$$

Теперь найдём, при каких значениях $$a$$ квадратные уравнения не имеют корней. Для этого нужно, чтобы дискриминант был отрицательным: $$D<0.$$

1. $$x^2-ax+4=0$$

   $$D=a^2-4\cdot 1\cdot 4=a^2-16.$$

   Тогда

   $$a^2-16<0$$

   $$ (a-4)(a+4)<0. $$

   Отсюда

   $$-4<a<4.$$

2. $$x^2+(a-2)x+25=0$$

   $$D=(a-2)^2-4\cdot 25=(a-2)^2-100.$$

   Тогда

   $$a^2-4a+4-100<0$$

   $$a^2-4a-96<0.$$

   Найдём корни уравнения $$a^2-4a-96=0$$:

   $$D_1=16+384=400,$$

   $$a_{1,2}=\frac{4\pm 20}{2},$$

   $$a_1=-8,\quad a_2=12.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$-8<a<12.$$

3. $$4{,}5x^2-(4a+3)x+3a=0$$

   $$D=(4a+3)^2-4\cdot 4{,}5\cdot 3a.$$

   Получаем:

   $$16a^2+24a+9-54a<0$$

   $$16a^2-30a+9<0.$$

   Найдём корни уравнения $$16a^2-30a+9=0$$:

   $$D_1=30^2-4\cdot 16\cdot 9=900-576=324,$$

   $$a_{1,2}=\frac{30\pm 18}{2\cdot 16}.$$

   Тогда

   $$a_1=\frac{3}{8},\quad a_2=\frac{3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{3}{8}<a<\frac{3}{2}.$$

Ответ

Неравенство доказано. Уравнения не имеют корней при:

1) $$a\in(-4;4);$$

2) $$a\in(-8;12);$$

3) $$a\in\left(\frac{3}{8};\frac{3}{2}\right).$$